Hallo Jenny,
Einfache Differentialgleichung kriege ich hin
Dann weißt Du auch die Lösung von \(u'(t)=-k u(t)\). Das ist$$u(t) = u_0e^{-kt} \quad k = 0,05\,\text h^{-1}\\ u(t) = u_0e^{-0,05\,\text h^{-1} \cdot t} $$
.. aber hier komme ich langsam an meinen Grenzen
das hängt vielleicht auch damit zusammen, dass die Aufgabe ungenau gestellt ist. Im ersten Teil ist \(u\) die Konzentration im Blut und später wird aus \(u_0\) die Einnahmedosis des Medikaments in Milligramm. Aber sehen wir da mal großzügig drüber hinweg und rechnen zunächst nur mit \(u_0\). Weiter gehe ich im folgenden davon aus, dass mit jeder Medikamenteneinnahme die Dosis sprunghaft um \(u_0\) ansteigt.
nach Einnahme der ersten Dosis ist \(u(t=0)\)$$u_1(t=0\,\text h) = u_0$$8 Stunden später wird daraus$$u_1(t=8\,\text h) = u_0e^{-0,05\,\text h^{-1} \cdot 8\,\text h} = u_0e^{-0,4}$$Mit der zweiten Einnahme des Medikaments steigt \(u\) um \(u_0\) an. Wir lassen die Zeit danach wieder bei \(t=0\) beginnen$$u_2(t = 0) = u_0e^{-0,4} + u_0 = u_0\left( e^{-0,4} + 1\right)$$Das ist unsere neue Startkonzentration und der weitere Verlauf hält sich wieder an unsere gefunde Lösung der DGL; also$$u_2(t) = u_0\left( e^{-0,4} + 1\right) e^{-0,05\,\text h^{-1} \cdot t}$$und 8 Stunden später wird daraus$$u_2(8\,\text h) = u_0\left( e^{-0,4} + 1\right)e^{-0,4}$$Jetzt das dritte mal das Medikament schlucken$$u_3(t=0) = u_0\left( e^{-0,4} + 1\right)e^{-0,4} + u_0 = u_0\left( \left( e^{-0,4} + 1\right)e^{-0,4} + 1\right) $$und im weiteren Verlauf ist$$u_3(t) = u_0\left( \left( e^{-0,4} + 1\right)e^{-0,4} + 1\right) e^{-0,05\,\text h^{-1} \cdot t} \\ \implies u_4 = u_0\left(\left( \left( e^{-0,4} + 1\right)e^{-0,4} + 1\right) e^{-0,4} + 1\right)$$Ich setze \(e^{-0,4} = q\) und das Muster die Konzentration nach der \(n\)'ten Einnahme des Medikaments ist$$u_n = u_0 \sum_{i=0}^{n-1} q^{i} = u_0 \frac{1-q^n}{1-q}$$(siehe geometrische Reihe) Damit solltest Du nun die Aufgabenteile a) und b) leicht lösen können. Falls nicht, bitte wieder melden.
Wie muss das Medikament dosiert werden, wenn ein vorgegebener Serumspiegel uc erreicht werden muss?
Hier ist die Dosierung \(u_0\) unbekannt und man setzt (für \(n \to \infty\))$$u_c = u_0 \frac{1}{1-q} \implies u_0 = (1-q) u_c \approx 0,330 u_c$$
Worin liegt der Nachteil bei dieser Art von Dosierung?
Zu Anfang ist in diesem Fall die Medikamentenkonzentration zu niedrig.
Wie kann man das vermeiden?
Indem man mit einer höheren Dosis \(u_c\) beginnt, die man ab der zweiten Einnahme auf das neu berechnete \(u_0\) reduziert.
