Analysis. 1.1.4. Zeitpunkt der stärksten Zu- bzw. Abnahme der Wirkstoffmenge. Und 1.2.2./1.2.3.

Question

Aufgabe 1.2.2. , 1.2.3. und 1.1.4. mit Lösungsweg bitte! ich komm einfach alleine nicht weiter. danke falls jemand so lieb ist

Aufgabe

Ein Medikament kann mittels einer Spritze oder durch Tropfinfusion verabreicht werden. Bei Verabreichung des Medikaments durch einer Spritze wird die Wirkstoffmenge im Blut des Patienten beschrieben durch die Funktion f mit \( \left.f(t)=130 \cdot\left(e^{-0.2 t}-e^{-0.8 t}\right); 0 \leq t \leq 24 \text { (t in Stunden nach der Injektion, } f(t) \text { in } m g\right) \)
1.1.1. Skizzieren Sie den Graphen von f.
1.1.2. Berechnen sie die Koordinaten des lokalen Hochpunktes von f und geben Sie deren Bedeutung bezüglich des Sachverhaltes an.
1.1.3. Das Medikament wirkt nur dann, wenn mindestens \( 36 \,\mathrm{mg} \) des Wirkstoffs im Blut vorhanden sind. Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem das Medikament wirkt.
1.1.4. Berechnen Sie die Zeitpunkte, zu denen die Wirkstoffmenge im Blut am stärksten zu- bzw. abnimmt.
1.1.5. Die mittlere Wirkstoffmenge \( m \) im Blut in einem Zeitraum [a;b] lässt sich berechnen durch:
\( m=\frac{1}{b-a} \cdot \int\limits_{a}^{b}  f(t) d t . \) Berechnen sie die mittlere Wirkstoffmenge im Blut während der ersten 12 Stunden.

1.2. Bei Tropfinfusion lässt sich die Wirkstoffmenge im Blut beschreiben durch die Funktion g mit \( g(t)=80 \cdot\left(1-e^{-0.05 t}\right) ; t \geq 0 \quad(t \text { in Minuten nach Infusionsbeginn, } g(t) \text { in } m g) \)
1.2.1. Berechnen sie die Wirkstoffmenge im Blut nach einer Stunde und nach \( 2,5 \) Stunden. Zu welchem Zeitpunkt befindet sich erstmals eine Menge von 50 mg im Blut. Skizzieren Sie den Graphen von g für \( 0 \leq t \leq 6 \)

1.2.2. Zeigen Sie, dass die Wirkstoffmenge im Blut ständig zunimmt. Ermitteln Sie, welche Wirkstoffmenge sich langfristig im Blut befindet.

1.2.3. Berechnen sie den Zeitpunkt, in dem die momentane Änderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut 1mg/min beträgt.

Answer 1

zu 1.1.4) Die Stellen der stärksten Abnahme bzw. Zunahme werden auch Wendestellen genannt, wobei bei einem begrenzten Definitionsbereich eventuell dessen Ränder untersucht werden müssen.
Kontrollergebnisse: stärkste Zunahme: t=0, stärkste Abnahme: t=4,621

zu 1.2.2) Ständige Zunahme bedeutet "streng monoton steigend" und das Kriterium dafür (übertragen auf die Funktion) besagt, dass  \(t_1< t_2 \Rightarrow g(t_1) < g(t_2) \). Also muss die Ungleichung

$$80\cdot\left(1-e^{-0,05t_1}\right)<80\cdot\left(1-e^{-0,05t_2}\right)$$ umgeformt werden, bis \(t_1< t_2\) da steht, wobei natürtlich auch gilt, dass \(t_1,t_2\ge 0\) ist.

"Langfristig" heißt \(\lim\limits_{t\to\infty}\). Kontrollergebnis: 80mg

zu 1.2.3)  Momentane Änderungsrate heißt Steigung, Steigung heißt erste Ableitung, also ist eine Lösung der Gleichung \(g'(t)=1\) gesucht.
Kontrollergebnis: t=27,726