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Aufgabe:

Sei (an)n \(\in\) \(\mathbb{N}\) eine Folge.

Sei HP:={x \(\in\) \(\mathbb{R}\) : x ist Häufungspunkt von (an)n \(\in\) \(\mathbb{N}\)} eine Menge.

Zu zeigen ist, dass HP abgeschlossen ist.


Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich irgendwie immer auf etwas stoße, wo ich nicht weiß wie ich dann weitermache.

Erst wollte ich zeigen dass HP \(\subsetneq\) \(\mathbb{R}\) gilt und dann wollte ich zeigen:\(\mathbb{R}\) \ Hp ist offen. In dem Fall wüsste ich aber nicht wie \(\mathbb{R}\) \ HP ausschaut weil an ja irgendeine Folge ist. Könnte mir da vielleicht einer helfen und sagen wie das dann ausschaut oder ob der Ansatz falsch ist?

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dann wollte ich zeigen:\(\mathbb{R}\) \ Hp ist offen.  

Das ist eine gute Idee. Du musst also zeigen:

Für jedes x ∈ ℝ\Hp gilt: Es gibt eine ganz in ℝ\Hp liegende

Umgebung von x.

Sei also x∈ ℝ\Hp ==>  x ist kein Häufungspunkt von (an)n∈ℕ .

==>   Es gibt eine Umgebung U(x) in der nicht unendlich

viele Folgenglieder von   (an)n∈ℕ  liegen.

==>   In dieser Umgebung liegen keine Häufungspunkte

von (an)n∈ℕ .

==>  Diese Umgebung liegt ganz in ℝ\Hp . q.e.d.

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Das ist sehr nett vielen Dank!


Könntest du mir nur noch diesen Punkt etwas genauer erläutern

"==>  Es gibt eine Umgebung U(x) in der nicht unendlich

viele Folgenglieder von (an)n∈ℕ  liegen."

Ich verstehe nicht ganz das mit "nicht unendlich vielen Folgenglieder von (an)n∈ℕ"  also warum folgt das? oder diese Umgebung?



Vielen dank nochmal!

Also ich weiß man geht das so an, dass man für die Umgebung ein Epsilon setzen muss, sodass die "Kugel" um das x mit Radius Epsilon (also die Umgebung) komplett in R\Hp ist aber wie schaut dieses Epsilon aus?

Das ε kennt man nicht.

p ist Häufungspunkt <=> In jeder Umgebung von p liegen unendlich viele
                                         Folgenglieder.


p ist kein Häufungspunkt <=> Es gibt eine Umgebung von p in der nicht
                                       unendlich viele Folgenglieder liegen.

Nur eine kritische Nachfrage eines Laien:

Warum darf ich überhaupt die Annahme treffen, dass eine x existiert, das kein HP ist? Wenn ich die Annahme treffen würde, dass es unendlich viele HP gibt und somit R\{HP} = leere Menge ist, dann gäbe es für jedes feste, aber beliebige x in der Umgebung U(x) unendlich viele Folgenglieder von an.


Warum darf ich überhaupt die Annahme treffen, dass eine x existiert, das kein HP ist?

Du willst doch zeigen:  \(\mathbb{R}\) \ Hp ist offen.

Richtig, dann hätte man eigentlich noch anfangen müssen mit

1. Fall  \(\mathbb{R}\) \ Hp ist leer.  Da die leere Menge offen ist,

                ist also \(\mathbb{R}\) \ Hp  offen.

2. Fall :   \(\mathbb{R}\) \ Hp ist nicht leer. Dann gibt es ein x∈ ℝ\Hp

==>  .....   Rest wie gehabt.

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