Abgeschlossenheit von einer Menge aus Häufungspunkten

Question

Aufgabe:

Sei (a_n)_{n \(\in\) \(\mathbb{N}\) eine Folge.}

Sei HP:={x \(\in\) \(\mathbb{R}\) : x ist Häufungspunkt von (a_n)_{n \(\in\) \(\mathbb{N}\)}} eine Menge.

Zu zeigen ist, dass HP abgeschlossen ist.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich irgendwie immer auf etwas stoße, wo ich nicht weiß wie ich dann weitermache.

Erst wollte ich zeigen dass HP \(\subsetneq\) \(\mathbb{R}\) gilt und dann wollte ich zeigen:\(\mathbb{R}\) \ Hp ist offen. In dem Fall wüsste ich aber nicht wie \(\mathbb{R}\) \ HP ausschaut weil a_n ja irgendeine Folge ist. Könnte mir da vielleicht einer helfen und sagen wie das dann ausschaut oder ob der Ansatz falsch ist?

Answer 1

dann wollte ich zeigen:\(\mathbb{R}\) \ Hp ist offen.  

Das ist eine gute Idee. Du musst also zeigen:

Für jedes x ∈ ℝ\Hp gilt: Es gibt eine ganz in ℝ\Hp liegende

Umgebung von x.

Sei also x∈ ℝ\Hp ==>  x ist kein Häufungspunkt von (an)_n∈ℕ .

==>   Es gibt eine Umgebung U(x) in der nicht unendlich

viele Folgenglieder von   (an)_n∈ℕ  liegen.

==>   In dieser Umgebung liegen keine Häufungspunkte

von (an)_n∈ℕ .

==>  Diese Umgebung liegt ganz in ℝ\Hp . q.e.d.

Comments

Das ist sehr nett vielen Dank!

Könntest du mir nur noch diesen Punkt etwas genauer erläutern

"==>  Es gibt eine Umgebung U(x) in der nicht unendlich

viele Folgenglieder von (an)n∈ℕ  liegen."

Ich verstehe nicht ganz das mit "nicht unendlich vielen Folgenglieder von (an)n∈ℕ"  also warum folgt das? oder diese Umgebung?

Vielen dank nochmal!

---

Also ich weiß man geht das so an, dass man für die Umgebung ein Epsilon setzen muss, sodass die "Kugel" um das x mit Radius Epsilon (also die Umgebung) komplett in R\Hp ist aber wie schaut dieses Epsilon aus?

---

Das ε kennt man nicht.

p ist Häufungspunkt <=> In jeder Umgebung von p liegen unendlich viele
                                         Folgenglieder.

p ist kein Häufungspunkt <=> Es gibt eine Umgebung von p in der nicht
                                       unendlich viele Folgenglieder liegen.

---

Nur eine kritische Nachfrage eines Laien:

Warum darf ich überhaupt die Annahme treffen, dass eine x existiert, das kein HP ist? Wenn ich die Annahme treffen würde, dass es unendlich viele HP gibt und somit R\{HP} = leere Menge ist, dann gäbe es für jedes feste, aber beliebige x in der Umgebung U(x) unendlich viele Folgenglieder von an.

---

Warum darf ich überhaupt die Annahme treffen, dass eine x existiert, das kein HP ist?

Du willst doch zeigen:  \(\mathbb{R}\) \ Hp ist offen.

Richtig, dann hätte man eigentlich noch anfangen müssen mit

1. Fall  \(\mathbb{R}\) \ Hp ist leer.  Da die leere Menge offen ist,

                ist also \(\mathbb{R}\) \ Hp  offen.

2. Fall :   \(\mathbb{R}\) \ Hp ist nicht leer. Dann gibt es ein x∈ ℝ\Hp

==>  .....   Rest wie gehabt.