Wahrscheinlichkeit das der Wochenumsatz zwischen 10.000 und 20.000 Dollar liegt?

Question

Gegebene Parameter:

P1: Mittelwert: 867 Standardabweichung: 148

P2: Mittelwert 1086 Standardabweichung: 245

Preis P1 12,5

Preis P2 7,75

Angenommen es liegt eine Normalverteilung vor und die Korrelation des Marketingteams von 0,68 ist korrekt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der wöchentliche Umsatz zwischen 10.000 und 20.000 Dollar liegt?

Problem/Ansatz:

Erwarteter Wochenumsatz = 19254€.(=12,5*867+7,75*1086)

Standardabweichung vom Wochenumsatz = ?

Wollte das ganze erst über Excel lösen (Norm.vert) Formel. Fällt aber weg, da ich die Standardabweichung nicht kenne.

Jetzt habe ich in einem anderen Thema λ=1/15000 entdeckt und es so versucht:

P(10000<X<20000)

(1-e^-((1)/(19254)*20000)  )*(1-e^-((1)/(19254)*10000)  )

Das Ergebnis ist dann 0,26173981 und stimmt leider nicht. Warum?

Comments

Die Aufgabenstellung ist sehr unvollständig. Man kann nur ahnen, um was es vielleicht gehen könnte.

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Man hat Dir doch gestern gezeigt, wie man von der Korrelation auf die Kovarianz kommt? Dann hast Du auch die Varianz des Wochengesamtumsatzes.

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Mehr ist leider nicht gegeben in der Aufgabe. Oben drüber ist nur noch ein Text, in dem steht das das Marketingteam fast alle Daten verloren hat und darunter dann eine Tabelle mit den Zahlen des Mittelwerts und der Standardabweichung.

Die Standardabweichung je Woche soll man selber errechnen (schaffe ich nicht)

Die Kovarianz soll man noch errechnen (habe ich mit Deiner Hilfe geschafft). Die beträgt 24656,8.

Sprich man soll die Wahrscheinlichkeit dass der wöchentliche Umsatz zwischen 10.000 und 20.000 Dollar beträgt nur anhand o.g. Werte berechnen können.

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Wenn man eine Antwort sucht, besteht die Kunst darin, verständlich zu machen was die Frage ist :)

Beim "entdeckten lambda" ist auch mysteriös um was es dabei geht.

Zur Kovarianz, aus einer beliebigen Statistik-Formelsammlung:

Diese Formel hat man Dir irgendwann beigebracht, denn sonst wäre die Frage nicht gestellt worden.

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Danke für Deine Geduld. Ich bin in dem Thema noch nicht fit und versuche richtig reinzukommen. :)

Die Korrelation / Standardabweichung / Kovarianz Zusammenhänge begreife ich nun auch.

Also muss ich für die Summe der Varianz (um später die Standardabweichung zu berechnen) wie folgt vorgehen:

Var(x) = 21904

Var(y)=60025

Preis(x)=148

Preis(y)=7,75

Kovarianz=24656,80

Lösung gemäß Deinem Bild

21904+60025+2*24656,80=131242,60

Mit Preis einbezogen = 21904*12,5^2+60025*7,75^2+2*24656,80=7077065,16

Standardabweichung (Wochenumsatz) 2660,27539

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Du solltest lernen Dich verständlich auszudrücken im Mathe-Kontext. In der Aufgabenstellung steht P1 und P2 aber Du sagst nicht was damit gemeint ist, dann wird ein lambda aus dem Hut gezaubert, und jetzt ist von x und y die Rede. Das ist alles nicht so klar wie es sein sollte.

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Danke für den Hinweis. Das war mir nicht bewusst. Liegt daran, dass ich ohne Witz schon drei Tage mit der Aufgabe verbringe, da ist man quasi im Tunnel. :)

Preis P1 sollte quasi Preis Produkt 1 (x) bedeuten. und Preis P2 quasi Preis Produkt 2 (y).

Das mit dem lambda war nur eine Idee, wie man die Wahrscheinlichkeit berechnen könnte, dass der Wochenumsatz zwischen 10.000 und 20.000 Dollar liegt. Führte aber nicht zum Ziel.

Ich wollte nur zeigen, was so meine Gedankenansätze zur Lösung sind. Aber die sind halt leider alle falsch.

Wahrscheinlich ist der Weg zum Ziel wenn man die Standardabweichung vom Wochenumsatz (der beiden Produkte P1 (x) und P2 (y)) errechnen würde. Aber das gelingt mir ja leider nicht.

Korrekt ist bisher nur der erwartete Wochenumsatz = 19254€.(=12,5*867+7,75*1086)

Die Kovarianz von 24656,80 und halt was gegeben ist.

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Warum "quasi"?

Mit der oben angegebenen Formel A.10 kommst Du weiter. Du hast ja schon eine "Standardabweichung (Wochenumsatz)" ausgerechnet. Damit ist die Verteilung bekannt.

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Habe ich schon versucht:

Var(x)+Var(y)+Cov(x,y)

21904+60025+2*24656,80=131242,60

Dank Dir weiß ich, dass die Standardabweichung durch die Wurzel der Varianz errechnet werden kann.

Sprich die Standardabweichung(x,y) beträgt 362,274206

Aber wie kann ich diese nun auf die Woche(Standardabweichung Wochenumsatz) heraufrechnen? (simples *7) war inkorrekt.

Und wie oben unter Einbeziehung der Preise inklusive addieren der doppelten Kovarianz funktionierte auch nicht.

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Du hast die Formel A.10 falsch abgeschrieben. Der Faktor 2 fehlt.

Meiner Meinung nach sind alle Werte wöchentlich. Etwas anderes hast Du jedenfalls nicht bekannt gegeben.

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Oh man, Natürlich Du hast recht. Die sind alle Wöchentlich. Deshalb ist *7 komplett falsch. :)

Aber den Faktor 2 habe ich doch eingebaut, weil ich die Kovarianz doppelt aufaddiere?

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Ich habe nicht nachgerechnet. Ich habe nur gesehen, was Du als Formel aufgeschrieben hast.

Fazit: Nicht alles, was man den Leuten aus der Nase zieht, ist ein Wurm. Es könnte sich auch um eine Matheaufgabe handeln. Und nicht jeder, der es tut, ist HNO-Arzt. :)

Answer 1

P1: Mittelwert: 867 Standardabweichung: 148
P2: Mittelwert 1086 Standardabweichung: 245
Preis P1 12,5
Preis P2 7,75

Der Wochenumsatz

μ(12.5·X + 7.75·Y) = 12.5·867 + 7.75·1086 = 19254

V(12.5·X + 7.75·Y) = 12.5^2·V(X) + 7.75^2·V(Y) = 12.5^2·148^2 + 7.75^2·245^2 = 7027752

σ(12.5·X + 7.75·Y) = √7027752 = 2651

P(10000 < 12.5·X + 7.75·Y < 20000) = NORMAL((20000 - 19254)/2651) - NORMAL((10000 - 19254)/2651) = 0.6106 = 61.06%

Woher hast du genau die Kovarianz gezaubert? War die in der Aufgabe angegeben? Ich bin hier mal davon ausgegangen das die Zufallsgrößen unabhängig voneinander sind.

Comments

Danke für die Hilfestellung!

Die Kovarianz war nicht angegeben. Die habe ich mit Hilfe von döschwo errechnet.

Eine Verständnisfrage bitte noch. Ich würde gern mehr verstehen. Wie müsste man rechnen, wenn die Verkäufe der Produkte eng miteinander verbunden wären?

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Also unter Einbeziehung der Korrelation von 0,68

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davon ausgegangen das die Zufallsgrößen unabhängig voneinander sind

Die "Korrelation des Marketingteams von 0,68" in der Aufgabenstellung wird im Kontext einer von demselben Fragesteller gestern gestellten Teilfrage verständlicher.

Mein Lösungsversuch in der separaten Antwort berücksichtigt das.

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Stimmt. Ich habe hier noch nicht die Korrelation eingerechnet. Hier kann ich das noch machen

Korrelation
p(X, Y) = COV(X, Y) / √(VAR(X)·VAR(Y))
COV(X, Y) = √(VAR(X)·VAR(Y))·p(X, Y)
COV(X, Y) = √(148^2·245^2)·0.68 = 24656.8

VAR(12.5·X + 7.75·Y) = 12.5^2·VAR(X) + 7.75^2·VAR(Y) + 2·12.5·7.75·COV(X, Y)
VAR(12.5·X + 7.75·Y) = 12.5^2·148^2 + 7.75^2·245^2 + 2·12.5·7.75·24656.8 = 11805006.56

P(10000 < 12.5·X + 7.75·Y < 20000) = NORMAL((20000 - 19254)/√11805006.56) - NORMAL((10000 - 19254)/√11805006.56) = 0.5824

Dann stimmt die Wahrscheinlichkeit die auch döschwo.berechnet hatte.

Answer 2

FALLS

hätte gefragt werden wollen, dass die Parameter der Aufgabe so seien, dass ein Unternehmen zwei Produkte P₁ und P₂ produziert mit wöchentlich

- P₁

-- Menge: Mittelwert 867, Standardabweichung 148

-- Preis: 12,50

- P₂

-- Menge: Mittelwert 1086, Standardabweichung 245

-- Preis; 7,75

- Korrelationskoeffizient der Mengen P₁ und P₂: 0,68

DANN

ist meine Antwort:

Aus der in der Antwort zu https://www.mathelounge.de/798953 gegebenen Formel folgt, dass der angegebene Korrelationskoeffizient einer Kovarianz der Mengen von P₁ und P₂ von 24656,8 entspricht. Gefragt ist aber der Umsatz, also das Produkt aus stochastischer Menge mal konstantem Preis. Dabei gilt:

V(Umsatz P₁) = E(Preis P₁)² * V(Menge P₁) = 3 422 500

V(Umsatz P₂) = E(Preis P₂)² * V(Menge P₂) ≈ 3 605 252

Kovarianz ≈ 2 388 628

Aus der weiter oben in den Kommentaren zur Frage angegebenen Formel A.10 folgt eine Varianz des Gesamtwochenumsatzes von 11 805 007 was einer Standardabweichung von rund 3436 entspricht. Der Erwartungswert ist 867*12,50 + 1086*7,75 = 19254.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist somit

also rund 58 %.

Comments

Vielen Dank. Sehr interessant

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Das freut mich, dass Dich das interessiert.