Zeigen Sie, dass ein Endomorphismus ψ : C[t]≤4 → C[t]≤4 existiert, für den gilt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass ein Endomorphismus ψ : C[t]≤4 → C[t]≤4 existiert, für den gilt

$$t^4 − t^2 \rightarrow t^4+1 $$

$$t^3 +t \rightarrow t-t^3$$

$$t^2 \rightarrow t^2+1$$
$$t- t^3  \rightarrow t-t^3$$

$$1 \rightarrow 1$$

Berechnen Sie die Dimension von Bild und Kern von ψ.

Wie zeige ich den Endimorphismus und berechne das Bild und den Kern?

Answer 1

Die gegebenen Polynome ( deren Bilder auch vorgegeben sind ) bilden eine

Basis von C[t]_≤4  Durch Vorgabe der Bilder einer Basis ist ein Endomorphismus

immer eindeutig bestimmt.

Für den Rest ist es vielleicht besser die Bilder bezüglich der

Standardbasis { 1 , t , t^2 , t^3 , t^4 } zu kennen.

Wenn f der Endomorphismus ist, gilt ja f(1)=1

und f(t) = f ( 0,5 * (t^3+t + t - t^3 ) )

          = 0,5 * ( f(t^3 +t ) + f(t-t^3 ) )

         = 0,5 * ( t-t^3 + t - t^3 ) = t - t^3

und f(t^2) = t^2 + 1

f(t^3) =  f ( 0,5 * (t^3+t) - (t - t^3 ) ))

       = 0,5 * ( f(t^3 +t ) - f(t-t^3 ) ) = 0

f( t^4) = f( t^4 - t^2 + t^2) = f( t^4 - t^2 ) + f( t^2)

         = t^4 + 1  + t^2 + 1

          = t^4 + t^2 + 2

Damit hat man für die Matrix von f bzgl. der Standardbasen

im Original und Zielraum

 1   0   1   0   2
 0   1    0  0   0
 0   0    1   0   1
0   -1    0   0   0
0    0    0   0   1            4. Zeile plus zweite gibt

1  0  1  0  2
0  1    0  0  0
0  0    1  0  1
0   0    0  0  0
0    0    0  0  1

Also nach Anwenden des Gauass-Alg genau eine

0 auf der Hauptdiagonalen

     ==>    dim(Kern)=1 folglich dim(Bild)=5-1=4