Aloha :)
Die Gesuchte ist ein Polynom vierten Grades:
$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$$$f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$$$$f''(x)=12ax^2+6bx+2c$$
Bei einem Sattelpunkt sind die erste und die zweite Ableitung gleich \(0\). Einen solchen Punkt hat die Funktion im Ursprung. Damit können wir sofort 2 Koeffizienten bestimmen:$$0\stackrel!=f'(0)=d\quad;\quad 0\stackrel!=f''(0)=2c\quad\implies\quad c=d=0$$Der Graph der Gesuchten enthält den Urpsrung, das liefert uns einen weiteren Koeffizienten:$$0\stackrel!=f(0)=e\quad\implies\quad e=0$$
Jetzt haben wir schon ein genaueres Bild von der Gesuchten:$$f(x)=ax^4+bx^3$$Die noch fehlenden Koeffizienten erhalten wir durch Einsetzen der beiden Punkte \((3|6)\) und \((4|0)\):$$6\stackrel!=f(3)=81a+27b\quad;\quad 0\stackrel!=f(4)=256a+64b$$Die Lösung dieses kleinen Gleichungssystems geht schnell:
$$\begin{array}{rr|r|l}a & b & = &\text{Aktion}\\\hline81 & 27 & 6 &:\,3\\256 & 64 & 0 &:\,64\\\hline27 & 9 & 2 &-7\cdot\text{Zeile 2}\\4 & 1 & 0 &\\\hline-1 & 2 & 2 &\cdot(-1)\\4 & 1 & 0 &+4\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & -2 & -2 &+\frac{2}{9}\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 9 & 8 &:\,9\\\hline1 & 0 & -\frac{2}{9} &\\[0.5ex]0 & 1 & \frac{8}{9} &\\[0.5ex]\hline\hline\end{array}$$Damit ist \(a=-\frac{2}{9}\) und \(b=\frac{8}{9}\), sodass die Gesuchte so aussieht:$$f(x)=-\frac{2}{9}x^4+\frac{8}{9}x^3$$
~plot~ -2/9x^4+8/9x^3 ; {0|0} ; {3|6} ; {4|0} ; [[-2|5|-3|7]] ~plot~
