Hallo
Nun stelle ich die Technik mal voran.
Vorweg:
$$(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$$$$f(x)=x^3$$$$ \frac{dx}{dy} =f'(x)= \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x} $$$$ = \lim\limits_{h\to 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h} =$$$$ \lim\limits_{h\to 0}\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{h}= $$$$ \lim\limits_{h\to 0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h} =$$$$ \lim\limits_{h\to 0}\frac{3x^2+3xh+h^2}{1}=3x^2 $$
Nehmen wir mal
$$f(x)=x^3$$
Du sollst die Ableitung bestimmen, doch was ist die Ableitung.
Die Ableitung ist der Differentialquotient.
Doch vermutlich ist auch das nicht klar.
On dem Wort steht das Wort Quotient.
Da wird etwas geteilt.
Dazu müssen wir erstmal wissen , was ein Differenzenquotient
Da gibt es Differenzen , die geteilt werden.
Es werden die Differenzen der Funktionswerte durch die Differenzen der x-Werte geteilt
$$\frac{f(x +h)-f(x)}{(x+h)-x}$$
Dies gibt die durchschnittliche Steigung der Funktionswerte f(x) an .
Bei der Geraden $$f(x)= a+bx $$
Ist diese immer gleich, doch bei den meisten Funktionen ist sie immer verschieden.
Die Steigung ist so etwas wie die Geschwindigkeit( die Veränderung des Ortes) Selten fahren wir so, dass die Geschwindigkeit immer gleich ist. Darum interessiert uns diese Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt.
Die Veränderung der Funktion zu einem Zeitpunkt t oder um wieder auf unsere xzurück zu kommen ,
Wir lassen das h immer kleiner werden, wenn dann der Grenzwert existiert und bei positiven und negativen h gleich ist, der rechte Grenzwert gleich dem linken, dann haben wir die Ableitung , die Steigung in dem Punkt oder auch den Differentialquotienten gefunden.
$$ \frac{dx}{dy} =f'(x)= \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x} $$
Nun gibt es Klassen von Funktionen, da wurde ermittelt, wie diese Steigung zu berechnen ist. Z B die obige Funktion, doch jetzt muss ich erstmal zur Arbeit Ich bi schon spät dran.
Bis bald. Hogar
