Ist diese Abbildung linear, injektiv und surjektiv?

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass diese Abbildung linear, injektiv und surjektiv ist.

R^2→ P1(R)gegeben durch f (a, b)(x) :=a−2b+bx

danke schonmal im voraus

Comments

Wie würdest du " P1(R) " vorlesen?

Answer 1

Linearität:

1. \(f((a,b)+(c,d))(x)=f((a+c,b+d))(x)=\)

\(=(a+c)-2(b+d)+(b+d)x=\)

\(=(a-2b+bx)+(c-2d+dx)=\)

\(=f((a,b))(x)+f((c,d))(x)=(f((a,b))+f((c,d))(x)\),

also

\(f((a,b)+(c,d))=f((a,b))+f((c,d))\)

2. \(f(c(a,b))(x)=f((ca,cb))(x)=\)

\(=ca-2cb+cbx=c(a-2b+bx)=cf((a,b))\).

Injektivität:

Wir betrachten den Kern von f:

\((a,b)\in Kern(f)\Rightarrow a+2b-bx\) ist die Nullfunktion, also

für \(x=0\) folgt \(a+2b=0\) und für \(x=1\) ist \(a+b=0\). Aus diesen

beiden Gleichungen folgt: \(a=b=0\). Damit ist \(f\) injektiv

und aus Dimensionsgründen auch surjektiv.