Identität beweisen. Lösungsansatz richtig?

Question

EDIT (vgl. Kommentar: es ist ( ln(x) +ln (y))/2 >= ln ((x+y)/2) " <<

Aufgabe:

Beweisen sie folgende Identität

ln (x) +ln (y) /2 >=(größer gleich) ln (x+y/2) für alle x,y größer 0
Problem/Ansatz:

p>… Ist die aufgabe wirklich so einfach wie ich denke? Ich forme die rechte seite um:

ln (x+y/2) = ln(x)+ ln (y) /2

und damit ist

ln (x) + ln (y) /2 >= ln (x) + ln (y) /2

und die Identiät bewiesen oder?

Comments

Fehlen Klammern um "gedachte" Zähler und Nenner?

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soll es vielleicht so heißen
[ ln (x) +ln (y) ] / 2 >= ln (x+y/2)

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ja entschuldigt.

es ist ( ln(x) +Ln (y))/2 >= ln ((x+y)/2)

Answer 1

Du solltest mal darüber nachdenken ob deine Umformung richtig ist. Gibt diese für jedes x und y und wenn nicht wo hast du vermutlich einen Fehler gemacht.

ln(x+y/2) = ln(x)+ln(y)/2

ln(3+3/2) = ln(3)+ln(3)/2

1.504077396 = 1.647918433

Die Gleichung stimmt also nicht für jedes x und y.

Comments

da hatte ich ja einen gravierenden Denkfehler.

könntest du mir vielleicht einen kleinen denkanstoß geben wie ich beides umforme sodass beide seiten gleich sind?

ich denke grade daran das man ln umformt zu e^...

Sorry ich steh grade aufm Schlauch

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Irgendwas ist an der Aufgabe auch schief

LN(2) + LN(12)/2 ≥ LN(2 + 12/2) → Beim Ausrechnen ist die Gleichung nicht erfüllt. Achte doch mal bitte darauf die Terme richtig anzugeben.

Vielleicht so

(LN(x) + LN(y))/2 ≥ LN((x + y)/2)
LN(x) + LN(y) ≥ 2·LN((x + y)/2)
LN(x·y) ≥ 2·LN((x + y)/2)
LN(x·y) ≥ LN(((x + y)/2)^2)
x·y ≥ ((x + y)/2)^2
x·y ≥ (x + y)^2/4
4·x·y ≥ (x + y)^2
4·x·y ≥ x^2 + 2·x·y + y^2
0 ≥ x^2 - 2·x·y + y^2
0 ≥ (x - y)^2

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" es ist ( ln(x) +Ln (y))/2 >= ln ((x+y)/2) " wurde oben von Fragesteller*in gemeldet.

Vermutlich an mindestens 3 Stellen so.