Zeigen sie, dass k 2 gemeinsame Punkte hat und geben sie die Koordinaten an.

Question

Aufgabe:

\(F_k(x)= (x-1)\cdot e^{-kx+2k}\) besitzt gemeinsame Punkte unabhängig von \(k\). Zeigen sie, dass \(k\) 2 gemeinsame Punkte hat und geben sie die Koordinaten an.

Problem/Ansatz:$$x \cdot e^{-ax+2a} - e^{-ax+2a} = x\cdot e^{-bx+2b} -e^{-bx+2b}$$

x*e^-ax+2a -e^-ax+2a = x*e^-bx+2b -e^-bx+2b

Wie rechne ich das jetzt weiter?

Comments

f ( x )= (x-1)* e^(-k1x+2k1)
g ( x )= (x-1)* e^(-k2x+2k2)
Für x = 1 gilt ( 1 - 1 ) = 0
f ( 1 ) = 0
g ( 1 ) = 0

( 1 | 0 )

x = 2 geht auch noch.
Will jetzt aber erst Kaffetrinken.

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Wieso geht x=2 auch?

Bzw. muss ich nicht noch -k1+2k1 und -k2+2k2 irgendwie auflösen?

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Kannst du Folgendes bitte so hinschreiben, wie du es (VIEL ausführlicher) vorlesen würdest?

"Zeigen sie, dass k 2 gemeinsame Punkte hat und geben sie die Koordinaten an."

Fragestellung vielleicht mit gleichem Problem wie hier https://www.mathelounge.de/672769/gemeinsame-punkte-einer-schar .

Wäre schön, man würde erkennen, wie du die Frage verstehst.

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f ( x )= (x-1)* e^(-k1x+2k1)
g ( x )= (x-1)* e^(-k2x+2k2)
(x-1)* e^(-k1x+2k1) =  (x-1)* e^(-k2x+2k2)
| : ( x-1)
e^(-k1x+2k1) = e^(-k2x+2k2)   Exponentenvergleich
(-k1x+2k1) = (-k2x+2k2)  |
k1 * ( -x + 2 ) = k2 * ( -x + 2 ) | : ( -x + 2 )
-x + 2 = 0
x = 2

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k1 * ( -x + 2 ) = k2 * ( -x + 2 ) | : ( -x + 2 )
-x + 2 = 0
x=2

Vewirrender kann man das kaum hinschreiben!

Wenn schon, dann müsste man das als Fallunterscheidung formulieren.

Nicht umsonst hat Mathecoach (4 Stunden früher!) hier den 'Satz vom Nullprodukt' benutzt.

Answer 1

(x - 1)·e^(- a·x + 2·a) = (x - 1)·e^(- b·x + 2·b)
(x - 1)·e^(- a·x + 2·a) - (x - 1)·e^(- b·x + 2·b) = 0
(x - 1)·(e^(- a·x + 2·a) - e^(- b·x + 2·b)) = 0

x = 1

oder

- a·x + 2·a = - b·x + 2·b --> x = 2

Die y-Koordinaten schaffst du auszurechnen oder?

Comments

Nur ein paar Zwischenschrittte:

Da es zwei unterschiedliche Funktionen der Schar sein sollen, gilt a≠b.

- a·x + 2·a = - b·x + 2·b

a(-x+2) = b(-x+2)

(a-b)*(-x+2)=0

Da die erste Klammer nicht gleich Null ist, muss (-x+2)=0 gelten.

 --> x = 2

Answer 2

Die Funktionenschar \(F_k(x) = (x-1)\cdot \text{e}^{-kx+2k}\) besitzt gemeinsame Punkte unabhängig von \(k\). Zeigen Sie, dass die zugehörige Kurvenschar \(K\) zwei gemeinsame Punkte hat und geben Sie die Koordinaten an.

Offenbar ist \(F_k(1)=0\) und \(F_k(2)=1\). Die beiden gesuchten Punkte sind also \((1\vert 0)\) und \((2\vert 1)\).

Es gibt auch umständlichere Lösungswege.

Comments

Da wohl "genau 2 gemeinsame Punkte" gemeint ist, erscheint mir dieser weniger 'umständliche' Lösungsweg eher unvollständig.

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Von "genau" ist nirgends die Rede.

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wohl .... gemeint !

Oder zweifelst du ernsthaft daran ???

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Jetzt kann ich deinen Einwand "unvollständig" noch weniger nachvollziehen!

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Das ist nun wirklich nicht mein Problem.

Die Anzahl der Aufgaben (auch im Abitur!), bei denen - zumindest wenn eine Zahl >1 genannt ist - "genau" gemeint ist aber nicht dasteht, ist riesig.Die Wahrscheinlichkeit, dass der Aufgabensteller hier "mindestens" - gemäß Konvention - tatsächlich meint, ist extrem gering.

Bevor man also von 'umständlichen' Lösungswegen spricht, sollte man zumindest auf dieses Problem eingehen.

Und

Von "genau" ist nirgends die Rede.

Huch, wie konnte ich das übersehen! :-)

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Für schlecht formulierte Aufgaben bin ich nicht verantwortlich. Allerdings würden mich Beispiele für die von dir ins Feld geführten Abituraufgaben durchaus interessieren.

Bei der vorliegenden Aufgabe lässt sich die Lesart "genau zwei", die du hier offenbar beachtet sehen möchtest, mit dem Hinweis bedienen, dass offensichtlich nur für x=1 oder x=2 der Parameter k im Scharterm neutralisiert wird. Die beiden von mir angeführten Punkte sind also auch die beiden einzigen Lösungen.

Ich hoffe, ich habe inzwischen deinen Einwand verstanden und richtig gedeutet. :-)