Wie zeichne ich die Funktion 3x3-9x2+6x?

Question

Aufgabe:

Funktion zeichen

Problem/Ansatz:

Wie zeichne ich die Funktion 3x³-9x²+6x?

Comments

Naja was sind denn für Bedingungen gegeben? Wieviele Nullstellen hat der Graph beispielsweise bei x³?

Answer 1

Z.B. Über die Berechnung von Hoch, Tief und Wendepunkten und über eine Wertetabelle.

Answer 2

Berechne die Nullstellen.

Überlege dir anhand des Globalverlaufs, wie der Funktionsgraph die Nullstellen abklappert.

Wenn du zusätzlich noch Hoch- und Tiefpunkt berechnest, dann bekommst du eine genauere Zeichnung.

Wenn du zusätzlich noch Wendepunkte berechnest, dann bekommst du eine genauere Zeichnung.

Comments

Vielen Dank!

Könnte ich den Verlauf, nachdem ich die Nullstellen berechnet habe, auch mit einer Monotonietabelle berechnen?

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Ja. Aber die Monotonietabelle gibt ja nur an an welcher Stelle das Maximum und Minimum liegt und nicht bei welcher y-Koordinate. Die müsstest du dann doch noch ausrechnen.

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Ich denke das kann er ganz leicht selbst ausrechnen. Wäre sicherlich ein guter Lerneffekt

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Jup, vielen Dank!

Answer 3

$$f(x)=3x^3-9x^2+6x$$

Es geht darum markante Punkte zu finden

1. Nullstellen

Wann ist die Funktion f(x)=0?$$f(x)=3x^3-9x^2+6x=0$$$$3x^3-9x^2+6x=0$$$$x^3-3x^2+2x=0$$$$x(x^2-3x+2)=0$$$$x(x-1)(x-2)=0$$

Diese Funktion konten wir faktorisieren, jetzt können wir die Nullstellen direkt ablesen.

$$x_1=0 ; x_2=1 ; x_3=2$$

2. Lokale Extemstellen bestimmen

$$f(x)=3x^3-9x^2+6x$$

Dazu bilden wir die Ableitung und suchen da die Nullstellen

$$f(x)=9x^2-18x+6=0$$

$$x^2-2x+2/3=0$$

In die p,q Formel einsetzen

$$x_1=1+\sqrt{1-\frac{2}{3}}$$$$x_1=1+\sqrt{\frac{1}{3}}≈ 1,577$$

$$f(1,577)=3*1,577^3-9*1,577^2+6*1,577≈-1,155$$

$$x_2=1-\sqrt{1-\frac{2}{3}}$$$$x_2=1-\sqrt{\frac{1}{3}}≈ 0,423$$

$$f(0,423)=9x^2-18x+6=0$$

$$f(0,423)=3*0,423^3-9*0,423^2+6*0,423≈1,155$$

Nun hast du den

HP (0,423 ; 1,155) ; TP(1,577 ; -1,155)

Dann ist es noch gut einige Funktionswerte zu bestimmen.

$$f(x)=3x^3-9x^2+6x$$

$$f(-2)=3*(-2)^3-9(-2)^2+6*(-2)=-72$$

$$f(-1)=3*(-1)^3-9(-1)^2+6*(-1)=-18$$

$$f(3)=3*3^3-9*3^2+6*3=18$$

$$f(4)=3*4^3-9*4^2+6*4=72$$

Jetzt sehen wir auch, dass die Funktion drehsymetrisch zu $P_2(1;0)$ ist.

Das ist die Methode um es von Hand zu machen, die andere Methode besteht darin , Programme zu nutzen, da kenn ich mich nicht aus.

Aber einen Versuch starte ich.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=3x%5E3-9x%5E2%2B6x