$$f(x)=3x^3-9x^2+6x$$
Es geht darum markante Punkte zu finden
1. Nullstellen
Wann ist die Funktion f(x)=0?$$f(x)=3x^3-9x^2+6x=0$$$$3x^3-9x^2+6x=0$$$$x^3-3x^2+2x=0$$$$x(x^2-3x+2)=0$$$$x(x-1)(x-2)=0$$
Diese Funktion konten wir faktorisieren, jetzt können wir die Nullstellen direkt ablesen.
$$x_1=0 ; x_2=1 ; x_3=2$$
2. Lokale Extemstellen bestimmen
$$f(x)=3x^3-9x^2+6x$$
Dazu bilden wir die Ableitung und suchen da die Nullstellen
$$f(x)=9x^2-18x+6=0$$
$$x^2-2x+2/3=0$$
In die p,q Formel einsetzen
$$x_1=1+\sqrt{1-\frac{2}{3}} $$$$x_1=1+\sqrt{\frac{1}{3}}≈ 1,577$$
$$f(1,577)=3*1,577^3-9*1,577^2+6*1,577≈-1,155$$
$$x_2=1-\sqrt{1-\frac{2}{3}} $$$$x_2=1-\sqrt{\frac{1}{3}}≈ 0,423$$
$$f(0,423)=9x^2-18x+6=0$$
$$f(0,423)=3*0,423^3-9*0,423^2+6*0,423≈1,155$$
Nun hast du den
HP (0,423 ; 1,155) ; TP(1,577 ; -1,155)
Dann ist es noch gut einige Funktionswerte zu bestimmen.
$$f(x)=3x^3-9x^2+6x$$
$$f(-2)=3*(-2)^3-9(-2)^2+6*(-2)=-72$$
$$f(-1)=3*(-1)^3-9(-1)^2+6*(-1)=-18$$
$$f(3)=3*3^3-9*3^2+6*3=18$$
$$f(4)=3*4^3-9*4^2+6*4=72$$
Jetzt sehen wir auch, dass die Funktion drehsymetrisch zu \(P_2(1;0)\) ist.
Das ist die Methode um es von Hand zu machen, die andere Methode besteht darin , Programme zu nutzen, da kenn ich mich nicht aus.
Aber einen Versuch starte ich.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=3x%5E3-9x%5E2%2B6x
