Zeigen Sie die folgende Aussage.

Question

Aufgabe: Es seien (an) und (bn) zwei konvergente Folgen mit den Grenzwerten
a = limn→∞ an und b = limn→∞ bn in R. Zeigen Sie die folgende Aussage.
Die Folge (an + bn) ist konvergent und besitzt den Grenzwert a + b.

Answer 1

Sei \(\varepsilon > 0\).

Sei \(N_a \in \mathbb{N}\) so dass \(|a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2}\) für alle \(n > N_a\).

Sei \(N_b \in \mathbb{N}\) so dass \(|b_n - b| < \frac{\varepsilon}{2}\) für alle \(n > N_b\).

Finde eine \(N\in \mathbb{N}\) so dass \(\left|\left(a_n+b_n\right) - \left(a+b\right)\right| < \varepsilon\) für alle \(n > N\) ist.

Comments

Wie muss ich das „finde eine N“ verstehen? Also ich kann den Schritt nicht ganz verstehen ist das die komplette Lösung?

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Der Modus von "Finde eine \(N\in \mathbb{N}\)" wird Imperativ genannt. Er wird in erster Linie für Aufforderungen, Befehle, Ratschläge und Einladungen benutzt.

In diesem speziellen Fall ist es eine Aufforderung an dich, ein geeignetes \(N\in \mathbb{N}\) zu finden. Bei der Suche können \(N_a\) und \(N_b\) helfen.

ist das die komplette Lösung

Nein, nicht bevor du das \(N\) gefunden hast.

Answer 2

$$c= a+b$$

$$c+dc_n=c_n=a_n+b_n=(a+da_n)+(b+db_n)=(a+b)+(da_n+db_b)$$

Mit \( \lim\limits_{n\to\infty}da_n→0 \)

und \( \lim\limits_{n\to\infty}db_n→0 \)

folgt\( \lim\limits_{n\to\infty} (da_n+db_n)→0\)

und damit \( \lim\limits_{n\to\infty}dc_n→0 \)

d.h. \( \lim\limits_{n\to\infty} a_n+b_n→a+b\)

Comments

was bedeutet denn das d ab der zweiten Zeile?

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Das würde mich auch mal interessieren.

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Das steht da doch,  die Differenz der Folge zu dem vermeintlichen Grenzwert, wenn die Folge dieser d_n gegen Null konvergiert, so konvergiert auch die Folge.