Integralrechnung Flächenberechnung

Question

Aufgabe:

Berechnen sie den Inhalt der Fläche die vom Graphen f der Tangente P und der x-Achse begrenzt ist.

f(x)=(x-2)^4=x^4-8x^3+24x^2-32x+16

P(0,16)

Problem/Ansatz:

Ich weiß die Frage gibt es schon einmal aber kann mir das jemand richtig erklären und vorrechnen wie ich da dran gehe ?

Answer 1

Aloha :)

Wir haben die Funktion$$f(x)=(x-2)^4$$Ihre Ableitung ist$$f'(x)=4(x-2)^3$$Ihre Tangente \(t(x)\) im Punkt \((0|16)\) lautet$$t(x)=f(0)+f'(0)\cdot(x-0)=16-32\cdot x$$Die Funktion \(f\) berührt die \(x\)-Achse bei \(x=2\). Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=\frac{1}{2}\). Für die Fläche \(F\) zwischen der Funktion \(f\), ihrer Tangente \(t\) und der \(x\)-Achse gilt daher:

$$F=\int\limits_0^2 f(x)\,dx-\int\limits_0^\frac{1}{2}t(x)\,dx=\left[\frac{(x-2)^5}{5}\right]_0^2-\left[16x-16x^2\right]_0^{1/2}$$$$\phantom{F}=\left(0-\frac{-32}{5}\right)-\left(4-0\right)=\frac{32}{5}-\frac{20}{5}=\frac{12}{5}$$

~plot~ (x-2)^4 ; -32*x+16 ; [[0|2,2|-1|18]] ~plot~