Rekonstruktion: Ganzrationale Funktion

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion 3.Grades, die die x-Achse in den Punkten 1 (−1/0), 2(0/0) und 3(1/0) schneidet und zusätzlich den Punkt (2/3)besitzt.

Bei der Rekonstruktion bin ich echt überfordert. Ich hab echt gar keine Ahnung wie das funktionieren soll. Könnt ihr mir helfen?

Answer 1

eine ganzrationale Funktion 3.Grades

(1)        \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)

und zusätzlich den Punkt (2/3)besitzt.

Punkt in (1) einsetzen ergibt

        \(3 = a\cdot 2^3 + b\cdot 2^2 + c\cdot 2 + d\).

Verfahre ebenso mit den anderen drei Punkten. Dadurch hast du vier Gleichungen mit vier Unbekannten. Löse dieses Gleichungssystem. Setze die Lösung in (1) ein.

Answer 2

Ansatz wegen der Nullstellen: f(x)=a·(x+1)·x·(x-1). Hier P(2|3) eingesetzt 3=a·3·2·1 also a=1/2.

f(x)=1/2·(x+1)·x·(x-1).