Ableitung von g(x) wenn f(x)·h ≤ g(x + h) - g(x) ≤ f(x + h)·h für g(x) und h>0.

Question

Die Funktion f(x) sei stetig.

Es gelte für eine andere Funktion g (x) und h > 0:

f(x)·h <= g(x + h) - g(x) <= f(x + h)·h

Bestimmen Sie die Ableitung g′ (x).

Comments

Hier eine Idee

f(x)·h <= g(x + h) - g(x) <= f(x + h)·h

durch h teilen

f(x) <= g'(x) <= f(x + h)

Kann ich das noch vereinfachen oder bin ich mit dem Ansatz eh auf dem Holzweg?

---

@Mathecoach:


Deine Idee verstehe ich: Wenn h beliebig klein wird, dann ist

[ g(x + h) - g(x) ] / h

die Ableitung von g(x), also g'(x).


Dann steuere ich noch folgende Idee hinzu - [Idee => Kommentar :-D]:

Wenn h beliebig klein wird und gilt

f(x) ≤ g'(x) ≤ f(x + h)

dann sollte letzlich herauskommen

g'(x) = f(x)


Was meinst Du?

---

Stimmt aber ich darf mein Ansatz ja gar nicht nehmen wenn dort nicht explizit steht das h beliebig klein wird.
Dort steht ja nur h > 0

Oder muss man das hier voraussetzen.

---

Nun ja, mit dem Voraussetzen ist das ja so eine Sache :-)

 

Ich habe mal ein wenig herumgespielt.

Annahme:

f(x) = x²

g'(x) = f(x) = x² | g(x) = 1/3 * x³

x = 1, h = 2

 

f(x)*h ≤ g(x + h) - g(x) ≤ f(x + h)*h

x und h eingesetzt:

f(1)*2 ≤ g(3) - g(1) ≤ f(3)*2

2 ≤ 9 - 1/3 ≤ 18

 

Das stimmt zwar (also auch mit relativ "großem" h), aber mir fällt nichts ein, mit dem man es allgemein beweisen könnte ...

Answer 1

Eure Ideen sind alle gut und richtig - es fehlt eigentlich nur noch die formal korrekte Herleitung.

Laut Voraussetzung gilt:

$$f(x)*h\le g(x+h)-g(x)\le f(x+h)*h$$
mit h > 0

Wegen h > 0 darf mn durch h dividieren, ohne auf die Richtung der Ungleichheitszeichen achten zu müssen, also:

$$\Leftrightarrow f(x)\le \frac { g(x+h)-g(x) }{ h } \le f(x+h)$$

Aufgrund der Rechenregeln für die Grenzwertbildung folgt:

$$\Rightarrow \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(x) } \le \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { g(x+h)-g(x) }{ h }  } \le \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(x+h) }$$

Der mittlere Term aber ist gerade die Definition der Ableitung g ' ( x ) von g ( x ), also:

$$\Leftrightarrow \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(x) } \le g'(x)\le \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(x+h) }$$

f ( x ) ist unabhängig von h, also gilt: \(\lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(x) } =f(x)\)
Außerdem gilt: \(\lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(x+h) } =f(x)\) und daher:

$$\Leftrightarrow f(x)\le g'(x)\le f(x)$$$$\Leftrightarrow g'(x)=f(x)$$

Comments

Heisst das hier nicht f(x) monoton steigend ist?
$$\Leftrightarrow f(x)\le \frac { g(x+h)-g(x) }{ h } \le f(x+h)$$

[Ist eigentlich egal]

Und das Folgende aber:

$$\Rightarrow \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(x) } \le \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { g(x+h)-g(x) }{ h }  } \le \lim _{ h\rightarrow 0 }{ f(x+h) }$$

dass man in der Mitte nur eine Aussage über die rechtsseitige Ableitung von g hat?