quadratische funktion faktorisieren

Question

Aufgabe:

Hallo ich soll folgende Funktion faktorisieren :

s^2+7/6x+-5/6

Problem/Ansatz:

ich hab schon so viele verschiedene lösungsmöglichkeiten gesehen aber keine hat mir bisher geholfen.

Vielleicht kennt ja jemand einen lösungsweg der funktioniert und mir die schritte erklärt.

Answer 1

Lautet die Funktion wie folgt?

f(x) = x^2 + 7/6·x - 5/6

f(x) = x^2 + 7/6·x - 30/36

f(x) = (x - 3/6)·(x + 10/6)

Comments

warum wird plötzlich 5/6 *6 genommen und der rest nicht ?

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Ich erweitere den Bruch mit 6. Achtung das ist nicht das gleiche, als wenn man den Bruch mit 6 multipliziert.

Satz von Vieta

Gesucht sind zwei Brüche a/b und b/c deren Summe 7/6 und deren Produkt -5/6 ist

a/c + b/c = (a + b)/c = 7/6 → a + b = 7 sowie c = 6

a/c * b/c = (a * b)/c^2 = -30/36 → a * b = - 30 sowie c^2 = 36

Beim Multiplizieren zweier Brüche werden die Nenner auch multipliziert. Daher ist es günstig im Vorhinein die Nenner passend zu wählen.

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nein tut mir leid ich begreife immer noch nicht warum nur 5/6 mit 6 erweitert wurde. ich verstehe auch nicht wie du auf die lösung kommst

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Wenn wir die Gleichung in allgemeiner Faktorisierter Form schreiben und ausmultiplizieren

(x + a/c)·(x + b/c)
x^2 + a/c·x + b/c·x + a/c·b/c
x^2 + (a+ b)/c·x + (a·b)/c^2

Da hier einmal c und einmal c^2 im Nenner auftritt, sollte man seinen Term auch in genau diese Form bringen. Dazu erweitere ich den zweiten Bruch mit 6.

x^2 + 7/6·x - 5/6
x^2 + 7/6·x - 30/6^2

Jetzt suchst du nur noch nach den Zahlen a und b für die gilt:

a + b = 7
a * b = -30

Das fällt hier doch recht einfach. Wenn dir das aber zu kompliziert ist kannst du auch eine Faktorisierung über die Nullstellen machen. Also z.B. pq-Formel

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ooh ich glaube ich habe es nun verstanden. vielen Dank :)

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ist dir auch ein Lösungsweg bekannt für kubische Funktionen?

also für x^3+5x^2-2k-24

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Ja. Die erste Nullstelle/Linearfaktor rätst du

x^3 + 5·x^2 - 2·x - 24

Dabei ist eine ganzzahlige Nullstelle ein Teiler von 24. Da du über eine Wertetabelle gleich alle Nullstellen bekommst kannst du die Faktorzerlegung gleich hinschreiben

x^3 + 5·x^2 - 2·x - 24 = (x - 2)·(x + 3)·(x + 4)

Du könntest ohne Wertetabelle allerdings erst eine Polynomdivision/Hornerschema mit der Nullstelle 2 machen.

(x^3 + 5·x^2 - 2·x - 24) / (x - 2) = x^2 + 7·x + 12

Hier suchst du zwei zahlen a und b für die gilt

a + b = 7 sowie a·b = 12

Da dies die Zahlen 3 und 4 sind folgt

x^2 + 7·x + 12 = (x + 3)·(x + 4)

Auch damit bekommst du also recht einfach eine Faktorzerlegung.

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konnte man die nullstelle 2 ablesen an der Funktion ? In der Prüfung darf ich keinen Taschenrechner benutzen und im kopf ist es mir nicht möglich dafür eine wertetabelle zu erstellen.

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Es sollte in den Fällen die erste Nullstelle meist eine ganze Zahl im Intervall [-3, 3] sein.

0 kann man direkt ausschließen, weil dann der konstante Term auch 0 sein muss.

1 und -1 kann man auch ausschließen, weil dann die Summe der Koeffizienten und die alternierende Summe 0 sein müsste. Damit bleiben nur noch die Zahlen {2, 3, -2, -3} zu prüfen. Das lässt sich recht gut mit dem Horner Schema machen. Da du das im weiteren eh verwenden kannst wäre das hier auch nicht so problematisch.

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Ich habe eine Frage, ich habe eben das Horner Schema ausprobiert mit x-1 und an 4. stelle kam keine 0 raus, ist das ein beweis das 1 keine nullstelle sein kann oder ist das zufall?

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x = 1

1	5	-2	-24
0	1	6	4
1	6	4	-20

Das bedeutet jetzt das f(1) = -20 gilt und -x = 1 damit keine Nullstelle ist

Answer 2

Text erkannt:

\( x^{2}+\frac{7}{6} x-\frac{5}{6}=0 \)
\( \left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}=\frac{169}{144} \)
\( x_{1}=-\frac{7}{12}+\frac{13}{12}=\frac{1}{2} \)
\( x_{2}=-\frac{7}{12}-\frac{13}{12}=-\frac{20}{12} \)
\( x^{2}+\frac{7}{6} x-\frac{5}{6}=\left(x-\frac{1}{2}\right) \cdot\left(x+\frac{5}{3}\right) \)
\( x^{2}+\frac{7}{6} x+\frac{5}{6}=0 \)
gibt 2 Lösungen in \( \mathbb{C} \)

Comments

warum wird hier aus der 7/6 -> 7/12? und woher kommt 49/144?

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warum wird hier aus der 7/6 -> 7/12? und woher kommt 49/144?

Moliets hat hier die quadratische Ergänzung benutzt. Wenn du bereits die pq-Formel hattest, kannst du die auch benutzen

x^2 + 7/6·x - 5/6 = 0

x = - 7/12 ± √((7/12)^2 - (- 5/6))