Aloha :)
Ich hatte gehofft, jemand anders macht diese Aufgabe, weil sie etwas Zeit benötigt. Ich möchte dich aber nicht hängen lassen, weil ich den Eindruck habe, dass du dir die Zeit nimmst, die Antworten auch zu verstehen.
Wenn man sich die Daten so anschaut, sieht das sehr nach einem natürlichen exponentiellem Wachstum aus. Wir wählen daher als Modell einen Exponentialansatz auf Basis der \(e\)-Funktion:$$f(x)=a\cdot e^{b\cdot x}$$Zur Berechnung reduzieren wir die Fragestellung auf eine lineare Regression, indem wir nicht die Funktion \(f\), sondern ihren Logarithmus an die Messwerte anpassen:
$$\ln f(x)=\ln\left(a\cdot e^{bx}\right)=\ln\left(a\right)+\ln\left(e^{bx}\right)=\ln a+b\cdot x$$Setzen wir die 9 Werte ein, erhalten wir 9 Gleichungen für 2 Unbekannte \(a\) und \(b\):
$$\begin{array}{lcl}\ln(0,50)&=&\ln a+b\cdot0\\\ln(0,61)&=&\ln a+b\cdot1\\\ln(0,72)&=&\ln a+b\cdot2\\\ln(0,87)&=&\ln a+b\cdot3\\\ln(1,05)&=&\ln a+b\cdot4\\\ln(1,26)&=&\ln a+b\cdot5\\\ln(1,50)&=&\ln a+b\cdot6\\\ln(1,82)&=&\ln a+b\cdot7\\\ln(2,18)&=&\ln a+b\cdot8\end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\1 & 1\\1 & 2\\1 & 3\\1 & 4\\1 & 5\\1 & 6\\1 & 7\\1 & 8\end{array}\right)\cdot\binom{\ln a}{b}=\begin{pmatrix}\ln(0,50)\\\ln(0,61)\\\ln(0,72)\\\ln(0,87)\\\ln(1,05)\\\ln(1,26)\\\ln(1,50)\\\ln(1,82)\\\ln(2,18)\end{pmatrix}$$Wir werden keine Lösung für \(\binom{\ln a}{b}\) finden, die alle 9 Gleichungen perfekt erfüllt. Gemäß der Gauß'schen Methode der kleinsten Fehlerquadrate kann man jedoch die am besten passende Lösung finden, indem man beide Seiten der Matrix-Gleichung von links mit der transponierten Koeffizientenmatrix multipliziert.
Die linke Matrix wird dann zu:$$\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\1 & 1\\1 & 2\\1 & 3\\1 & 4\\1 & 5\\1 & 6\\1 & 7\\1 & 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}9 & 36\\36 & 204\end{array}\right)$$
Die rechte Matrix wird zu, wobei die Logarithmen ausgerechnet wurden:$$\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\end{array}\right)\begin{pmatrix}\ln(0,50)\\\ln(0,61)\\\ln(0,72)\\\ln(0,87)\\\ln(1,05)\\\ln(1,26)\\\ln(1,50)\\\ln(1,82)\\\ln(2,18)\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{r}0,408318734\\12,64087377\end{array}\right)$$
Das führt uns zu der sogenannten Normalengleichung:$$\left(\begin{array}{rr}9 & 36\\36 & 204\end{array}\right)\cdot\binom{\ln a}{b}=\left(\begin{array}{r}0,408318734\\12,64087377\end{array}\right)$$die sich als einfaches Gleichungssystem für 2 Unbekannte lösen lässt:
$$\binom{\ln a}{b}=\left(\begin{array}{rr}9 & 36\\36 & 204\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{r}0,408318734\\12,64087377\end{array}\right)=\binom{-0,688471174}{0,183459981}$$Mit \(a=e^{\ln a}=e^{-0,688471174}=0,502343478\) haben wir nun unsere Funktion gefunden:$$\boxed{f(x)=0,502343\cdot e^{0,183460\cdot x}}$$
~plot~ 0,502343*e^(0,183460*x) ; {0|0,5} ; {1|0,61} ; {2|0,72} ; {3|0,87} ; {4|1,05} ; {5|1,26} ; {6|1,5} ; {7|1,82} ; {8|2,18} ; [[-0,5|9|0|2,5]] ~plot~
Als alternatives Modell könnte man hier den ersten Punkt rausnehmen und als fest gegeben ansehen. Schließlich ist er das Geburtsgewicht des Welpen und steht damit als Startgröße fest.$$g(x)=0,5+a\cdot e^{b\cdot x}$$
Das können wir dann wieder auf eine lineare Regression zurückführen:$$\ln(\,g(x)-0,5\,)=\ln a+b\cdot x$$Bei der Berechnung fehlt nun der erste Punkt und wir erhalten nach analogen Überlegungen zu oben:
$$\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\1 & 2\\1 & 3\\1 & 4\\1 & 5\\1 & 6\\1 & 7\\1 & 8\end{array}\right)\cdot\binom{\ln a}{b}=\begin{pmatrix}\ln(0,61-0,50)\\\ln(0,72-0,50)\\\ln(0,87-0,50)\\\ln(1,05-0,50)\\\ln(1,26-0,50)\\\ln(1,50-0,50)\\\ln(1,82-0,50)\\\ln(2,18-0,50)\end{pmatrix}$$Das führt nach Multiplikation mit der transponierten Koeffizientenmatrix auf die Normalengleichung:$$\left(\begin{array}{rr}8 & 36\\36 & 204\end{array}\right)\cdot\binom{\ln a}{b}=\left(\begin{array}{r}-4,791503236\\-5,888046927\end{array}\right)\implies\binom{\ln a}{b}=\binom{-2,278264794}{0,373183753}$$
Mit \(a=e^{\ln a}=e^{-2,278264794}=0,102461845\) haben wir nun unsere Funktion gefunden:$$\boxed{g(x)=0,50+0,102462\cdot e^{0,373184\cdot x}}$$
~plot~ 0,50 + 0,102462*e^(0,373184*x) ; {0|0,5} ; {1|0,61} ; {2|0,72} ; {3|0,87} ; {4|1,05} ; {5|1,26} ; {6|1,5} ; {7|1,82} ; {8|2,18} ; [[-0,5|9|0|2,5]] ~plot~
Wie erwartet passt der rein exponentielle Ansatz für \(f(x)\) deutlich besser als der Fixpunkt-Ansatz für \(g(x)\). Man könnte jetzt noch die Abweichungen der Messpunkte von den Funktionswerten miteinander vergleichen, aber die Abbildungen zeigen den Unterschied bereits deutlich.
