Ableitung der Funktion gleich 0

Question

Aufgabe:

Sei f : R → R eine differenzierbare Funktion, und seien a, b ∈ R mit
f'(a) < 0 ,
f'(b) > 0 , a < b .
Zeigen Sie: Es existiert ein ξ ∈ (a, b) mit f'(ξ)= 0.
Warnung: Sie dürfen nicht annehmen, dass f stetig differenzierbar ist.

Problem/Ansatz:

Zwischenwertsatz fällt dann raus, man weiß dann, dass die Funktion in einen kleinen Bereich von a streng monoton fallend bzw. in einen kleinen bereich von b streng monoton wachsend ist, also muss die funktion irgendwo zwischen a und b die steigung null haben (ähnlich wie bei einer Parabel), nur wie zeigt man dies geschickt?

Answer 1

Hallo Testgast,

hier https://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz findest Du den "Zwischenwertsatz für Ableitungen (Satz von Darboux)". Das ist (im Prinzip) genau oben genanntes Problem. Es wird dort gesagt, dass dieser Satz aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung folgt.

Einen Beweis für den Satz von Darboux findest Du zum Beispiel hier: https://pnp.mathematik.uni-stuttgart.de/iadm/Weidl/ana1-13-14/skript/skriptse41.html

Liebe Grüße

Comments

Darf man den zwischenwertsatz anwenden, da ja steht dass f' nicht stetig diffbar ist.

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Meines Erachtens nach kannst Du den Zwischenwertsatz nicht einfach auf die Ableitung anwenden, weil die nicht zwangsläufig stetig ist, wie Du schon richtig erkannt hast. Der "Satz von Darboux" nutzt aber aus, dass für eine Funktion f mit den oben genannten Eigenschaften trotzdem gilt, dass die Ableitung keine Sprungstellen aufweist. Ich denke, man soll hier einmal den Beweis des Satzes von Darboux nachvollziehen.