ϕ soll diagonalisierbar sein .

Question

Aufgabe:

Es seien V ein endlichdimensionaler Q-Vektorraum und ϕ : V → V eine lineare
Abbildung mit ϕ ◦ ϕ = idV . Zeige, dass ϕ diagonalisierbar ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß das die Eigenwert +/- 1 ist. Eine Abbildung ist diagonalisierbar falls V eine Basis aus Eigenvektoren von phi besitzt..

Hilft mir das :

Um zu entscheiden ob eine Matrix diagonalisierbar haben wir zuerst das Charaktereigenschaften Polynom der Matrix berechnet und nach den Nullstellen gesucht, welche ja die Eigenwerte sind.

Doch nun weiß ich nicht wirklich weiter. Muss die Anzahl der Eigenwerte immer = der Dimension der Matrix sein damit, sie diagonalisierbar ist?

Comments

Tipp: Mit r(t):=t²-1=(t-1)·(t+1) gilt r(ϕ)=0. Argumentiere mit dem Minimalpolynom von ϕ.

---

Ich versteh nicht was mit r gemeint ist und was mir das zum zeigen der diagonalisierbarkeit bringt

---

Das ist lediglich eine Bezeichnung für das Polynom r(t):=t²-1.
Wenn das Minimalpolynom vollständig in paarweise verschieden Linearfaktoren zerfällt, ist ϕ  diagonalisierbar.

---

das heißt wenn ich jetzt in das polynom 1 und -1 einsetze kommt 0 heraus und deshalb ist es diagonaslierbar ?

---

Wie bekomme ich die vollständige paarweise verschiedne Linearfaktoren

---

Wegen r(ϕ)=0 ist das Minimalpolynom höchstens vom Grad zwei.

---

Und weil es vom grad 2 ist ist es in der 2 dim ? aber das mit linearfaktoren verstehe ich nicht