Wie viele unterschiedliche Abbildungen sind möglich?

Question

Aufgabe:

Die Menge A = {1, 2, 3, 4, 5} soll auf B = {1, 2, 3} abgebildet werden, A->B.
a) Wie viele unterschiedliche Abbildungen sind möglich?
b) Bei einem Glücksspiel wird 5 mal zufällig eine Zahl aus {1, 2, 3} gezogen. Man gewinnt, wenn
die Zahlen 1, 2 und 3 jeweils mindestens einmal auftreten. Wie hoch ist die Gewinnwahrscheinlichkeit?

Problem/Ansatz:

Bei der a) weiß ich, dass es 3^5 ist.

Nur weiß ich nicht wie ich jetzt bei der b vorgehen soll? Bzw. weiß ich nicht wie man den Rechenweg aufstellt.

Answer 1

Hallo,

ich komme zu einem anderen Ergebnis.

Wir zählen die Gegenereignisse ab, also die Ereignisse, bei denen man verliert:

- Ziehungen, bei denen nur 2 oder 3 gezogen wird: \(2^5\)

- Ziehungen, bei denen nur 1 oder 3 gezogen wird: \(2^5\)

- Ziehungen, bei denen nur 1 oder 2 gezogen wird: \(2^5\)

Kleines Problem: Die Ziehung (3,3,3,3,3) haben wir zweimal gezählt, nämlich bei "keine1" und bei "keine 2". Ebenso (2,2,2,2,2) und (1,1,1,1,1). Das müssen wir korrigieren. Also ergibt sich die Zahl der Verlustfälle zu

$$3 \cdot 2^5-3=93$$

Und entsprechend die Zahl der Gewinnfälle zu

$$3^5-93=150$$

Gruß

PS: Schade, dass mathef keine Begründung gegeben hat. Es bleiben also Zweifel.

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Answer 2

b)   Eine "Ziehung"  ist ja immer durch Angabe der gezogenen Zahl

festgelegt. Das hängt mit a) zusammen; denn 5 Ziehungen entsprechen

ja einer Abbildung von A nach B, wenn man es so interpretiert z.B.

f(1) = 2   Bei der 1.Ziehung wurde 2 gezogen
f(2) = 2  Bei der 2.Ziehung wurde 2 gezogen
f(3) = 1  Bei der 3. Ziehung wurde 1 gezogen   etc.

Also gibt es 3^5 verschiedene Ziehungen.

Nun musst du noch überlegen wie viele

davon enthalten nun aber auch alle 3 Zahlen;

denn nur damit gewinnt man ja.
Ich glaube, das sind 90. Also wäre

p=90/3^5 = 10/27

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Wie genau sind Sie auf die 90 gekommen? Also wie kann man das berechnen?

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War falsch, siehe Kommentar.

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Hallo mathef,

das ist ein klassischer Fehler, Du zählst Ereignisse mehrfach. Zum Beispiel das Ereignis (1,2,3,2,3) zählst Du als

- (1,2,3,.,.) gesetzt, zu (1,2,,3,2,3) ergänzt

- (1,2,.,.,3) gesetzt,  zu (1,2,,3,2,3) ergänzt

- (1,.,.,2,3) gesetzt, zu (1,2,,3,2,3) ergänzt

....

Gruß

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Ach ja, hab ich nicht bedacht.