Wie finde ich die Extremstelle anhand des t-Wertes?

Question

Ich hab da mal eine Frage zu einer Funktionenschar Aufgabe.

Ich hab die Funktion f_t(x) = e^x - tx und die Frage lautet „Für welche Werte von t hat der Graph Extremstellen?“ Ich hab jetzt für t verschiedene Zahlen eingesetzt, aber es kam immer derselbe Graph raus nur das der je nach t-Wert nach oben oder nach unten verschoben ist. Mache ich irgendwas falsch oder gibt es einen Trick wie ich den t-Wert mit den Extremstellen finden kann?

Liebe Grüße

Ime

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Hallo,

Du scheinst die Funktion irgendwie falsch in Dein Zeichenprogramm einzugeben. Mit dem hiesigen Plotlux-Plotter kannst du mal vergleichen.

Jedenfalls bestimmst Du die Extremstellen wie immer durch die Nullstellen der ersten Ableitung.

Gruß

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Achso, aber was ist den mit dem t ? Schreibt man den gar nicht mit?

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Du kannst doch einfach verschiedene t-Werte ausprobieren

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Oh, ich bemerke erst jetzt das mein Regler für tx eingestellt ist und nicht nur für t. Ich versuch das mal zu ändern und versuche es noch einmal. Dankeschön :)

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Jetzt hab ich es, da hab ich wohl das mal Zeichen zwischen dem t und dem x vergessen. Wie dumm von mir. Ohne dich wäre ich wahrscheinlich gar nicht drauf gekommen, Dankeschön!

Answer 1

Text erkannt:

\( f_{t}(x)=e^{x}-t \cdot x \)
\( f(x)=e^{x}-t \)
\( e^{x}-t=0 \)
\( e^{x}=t \mid \ln \)
\( x \cdot \ln e=\ln t \)
\( x \cdot 1=\ln t \)
\( x=\ln t \rightarrow \rightarrow f_{t}(\ln t)=e^{\ln t}-t \cdot(\ln t)=t-t \cdot(\ln t)=t \cdot(1-\ln t) \)
\( t_{1}=-5 \rightarrow \rightarrow x=\ln (-5) \) gibt Werte nur in \( \mathbb{C} \)
\( t_{2}=0 \rightarrow \rightarrow x=\ln (0) \) Wolfram gibt den Wert \( -\infty \) raus
\( t_{3}=0,1 \rightarrow \rightarrow x=\ln (0,1) \approx-2,3 \)
\( t_{4}=e \rightarrow \rightarrow x=\ln (e)=1 \)
\( t \) muss somit \( >0 \) sein.

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Dankeschön :)

Answer 2

f(x) = e^x - t·x

f'(x) = e^x - t = 0 --> x = LN(t) für t > 0

Skizze

~plot~ exp(x)-1x;exp(x)-2x;exp(x)-3x;exp(x)-4x;exp(x)-5x;exp(x)-6x ~plot~

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Dankeschön :)

Answer 3

Aloha :)

Wenn du Kandidaten für Extremstellen suchst, helfen dir die Nullstellen der ersten Ableitung weiter. Lass dich von dem \(t\) nicht stören. Dieser Wert kann zwar beliebig gewählt werden, ist aber nach seiner Wahl fest und wird beim Ableiten wie eine Konstante behandelt:$$f_t(x)=e^x-t\cdot x\quad\implies\quad f'_t(x)=e^x-t$$Wir holen uns daraus die Kandidaten \(x\) für ein Extremum:$$e^x-t\stackrel!=0\quad\implies\quad e^x=t\quad\implies\quad x=\ln(t)\quad;\quad t>0$$Da die Funktion \(e^x\) immer positiv ist, gibt es nur für \(t>0\) mögliche Extrema. Für \(t\le0\) ist die Logarithmusfunktion daher auch nicht definiert. Wir prüfen noch, ob bei \(x=\ln(t)\) tatsächlich ein Extremum vorliegt, indem wir die 2-te Ableitung betrachten:$$f''_t(x)=e^x\quad\implies\quad f''_t(\ln(t))=e^{\ln(t)}=t>0\quad\implies\quad\text{Minimum}$$

Für alle \(t>0\) hat die Funktion also ein Minimum bei \(x=\ln(t)\) im Punkt \((\ln(t)\,|\,t-t\ln(t))\).

Irgendwie scheint dein Zeichen-Tool verbuggt zu sein, für \(t=2\) sieht der Graph so aus:

~plot~ e^x-2x ; {ln(2)|2-2*ln(2)} ; [[-2|2,5|0|4]] ~plot~

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Dankeschön :)