Wie finde ich die Extremstelle anhand des t-Wertes?

Question

Ich hab da mal eine Frage zu einer Funktionenschar Aufgabe.

Ich hab die Funktion f_t(x) = e^x - tx und die Frage lautet „Für welche Werte von t hat der Graph Extremstellen?“ Ich hab jetzt für t verschiedene Zahlen eingesetzt, aber es kam immer derselbe Graph raus nur das der je nach t-Wert nach oben oder nach unten verschoben ist. Mache ich irgendwas falsch oder gibt es einen Trick wie ich den t-Wert mit den Extremstellen finden kann?

Liebe Grüße

Ime

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Hallo,

Du scheinst die Funktion irgendwie falsch in Dein Zeichenprogramm einzugeben. Mit dem hiesigen Plotlux-Plotter kannst du mal vergleichen.

Jedenfalls bestimmst Du die Extremstellen wie immer durch die Nullstellen der ersten Ableitung.

Gruß

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Achso, aber was ist den mit dem t ? Schreibt man den gar nicht mit?

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Du kannst doch einfach verschiedene t-Werte ausprobieren

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Oh, ich bemerke erst jetzt das mein Regler für tx eingestellt ist und nicht nur für t. Ich versuch das mal zu ändern und versuche es noch einmal. Dankeschön :)

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Jetzt hab ich es, da hab ich wohl das mal Zeichen zwischen dem t und dem x vergessen. Wie dumm von mir. Ohne dich wäre ich wahrscheinlich gar nicht drauf gekommen, Dankeschön!

Answer 1

Text erkannt:

$f_{t}(x)=e^{x}-t \cdot x$
$f(x)=e^{x}-t$
$e^{x}-t=0$
$e^{x}=t \mid \ln$
$x \cdot \ln e=\ln t$
$x \cdot 1=\ln t$
$x=\ln t \rightarrow \rightarrow f_{t}(\ln t)=e^{\ln t}-t \cdot(\ln t)=t-t \cdot(\ln t)=t \cdot(1-\ln t)$
$t_{1}=-5 \rightarrow \rightarrow x=\ln (-5)$ gibt Werte nur in $\mathbb{C}$
$t_{2}=0 \rightarrow \rightarrow x=\ln (0)$ Wolfram gibt den Wert $-\infty$ raus
$t_{3}=0,1 \rightarrow \rightarrow x=\ln (0,1) \approx-2,3$
$t_{4}=e \rightarrow \rightarrow x=\ln (e)=1$
$t$ muss somit $>0$ sein.

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Dankeschön :)

Answer 2

f(x) = e^x - t·x

f'(x) = e^x - t = 0 --> x = LN(t) für t > 0

Skizze

Plotlux öffnen

f₁(x) = exp(x)-1xf₂(x) = exp(x)-2xf₃(x) = exp(x)-3xf₄(x) = exp(x)-4xf₅(x) = exp(x)-5xf₆(x) = exp(x)-6x

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Dankeschön :)

Answer 3

Aloha :)

Wenn du Kandidaten für Extremstellen suchst, helfen dir die Nullstellen der ersten Ableitung weiter. Lass dich von dem $t$ nicht stören. Dieser Wert kann zwar beliebig gewählt werden, ist aber nach seiner Wahl fest und wird beim Ableiten wie eine Konstante behandelt:$$f_t(x)=e^x-t\cdot x\quad\implies\quad f'_t(x)=e^x-t$$Wir holen uns daraus die Kandidaten $x$ für ein Extremum:$$e^x-t\stackrel!=0\quad\implies\quad e^x=t\quad\implies\quad x=\ln(t)\quad;\quad t>0$$Da die Funktion $e^x$ immer positiv ist, gibt es nur für $t>0$ mögliche Extrema. Für $t\le0$ ist die Logarithmusfunktion daher auch nicht definiert. Wir prüfen noch, ob bei $x=\ln(t)$ tatsächlich ein Extremum vorliegt, indem wir die 2-te Ableitung betrachten:$$f''_t(x)=e^x\quad\implies\quad f''_t(\ln(t))=e^{\ln(t)}=t>0\quad\implies\quad\text{Minimum}$$

Für alle $t>0$ hat die Funktion also ein Minimum bei $x=\ln(t)$ im Punkt $(\ln(t)\,|\,t-t\ln(t))$.

Irgendwie scheint dein Zeichen-Tool verbuggt zu sein, für $t=2$ sieht der Graph so aus:

Plotlux öffnen

f₁(x) = e^x-2xP(ln(2)|2-2·ln(2))Zoom: x(-2…2,5) y(0…4)

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Dankeschön :)