Rechnen in C (Komplex)

Question

Ich verstehe nicht wie man diese aufgabentypen löst.

Kann mir jemand bitte helfen, ich bin noch relativ neu bei den komplexen zahlen.

a) Bestimmen Sie alle Lösungen \( z \in \mathbb{C} \) der Gleichung
$$ z^{2}+(2+2 i) z+4 i=0 $$
Geben Sie die Lösungen in der Form \( a+b i \) an.
b) Bestimmen Sie alle Lösungen \( z \in \mathbb{C} \) der Gleichung
$$ z^{4}+(2+2 i) z^{2}+4 i=0 $$

Answer 1

\(z^{2}+(2+2 i) z+4 i=0\)

Das ist eine quadratische Gleichung.

Quadratische Gleichungen kann man mit der pq-Formel lösen.

\(z^{4}+(2+2 i) z^{2}+4 i=0\)

Das ist eine biquadratische Gleichung. Die kann man mit der Substitution \(x = z^2\) in eine quadratische Gleichung überführen, mit der pq-Formel lösen und dann rücksubstituieren.

Answer 2

Wenn du mit der pq-Formel löst, erhältst du unter der Wurzel (1+i)²-4i, das kann man umformen in (1-i)², dann lautet die Lösung

x= -(1+i)+/- (1-i), du mußt dich also gar nicht mit "i²=-1" herumschlagen.

Comments

Ja ich bin dabei, hab aber problem beim zusammenfassen und auflösen.

Ich mach das mit Quadr. Ergänzung.

Pq formel hat der Dozent verboten, weil ein minus unter wurzel möglich ist

Answer 3

\( z^{2}+(2+2 i) z+4 i=0\)

\(z^{2}+2(1+ i) z +(1+i)^2=(1+i)^2-4i\\ (z+1+i)^2=1+2i+i^2-4i\\ (z+1+i)^2=1-2i+i^2\\\ (z+1+i)^2=(1-i)^2\ \\ z+1+i=1-i \text{ oder } z+1+i=-(1-i)\\ z=-2i \text{ oder } z=-2\)

Für b) musst du nur noch lösen:

z^2=-2i oder z^2=-2

(x+iy)^2=-2i oder (x+iy)^2=-2      *)

x^2-y^2+2xyi=-2i oder ...

x^2-y^2=0  ;   2xyi=-2i oder ...

|x|=|y|  ;   xy=-1 oder ...

z1=1-i ;  z2=-1+i  ;   z3= ...  ;   z4= ...

PS:

*) Oder mit Polarform

:-)

Comments

Bis dahin bin ich auch gekommen, aber ich kriege es nicht hin auf der linken seite die sachen zusammenzufassen.

In real schaffe ich das noch, aber bei komplex weiß ich nicht genau wie ich das tun soll

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ok danke, normalerweise zieht man jetzt die wurzel, gilt das weiterhin?

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Hallo,

jetzt noch die beiden Fälle +(1-i) und -(1-i) auf der rechten Seite unterscheiden.

Fertig.

:-)

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danke, also lautet die lösungen x= 1-i und x_2 = -1+i

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oh z natürlich, vielen lieben dank

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Ähh, nein.

Du musst die Summanden von links nach rechts bringen.

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kannst du das bitte aufschreiben, ich hab a so verstanden.

Bei b bin ich mir unsicher, ich mach dieses thema mit substitution zum ersten mal

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Du musst ja gar nicht substituieren.

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alles gut, danke dir.

Habs glaube ich so verstanden