Maximiere die folgende Funktion

Question

Aufgabe:

Maximiere die folgende Funktion:
f(x, y, z) = xyz
unter der Nebenbedingung:
9 = x + y + z
Benutze eine beliebige Methode und überprüfe nach Möglichkeit die hinreichenden Bedingungen!

Answer 1

Aloha :)

Eine beliebige Methode... Hmm, dann nehmen wir doch die AGM-Ungleichung:$$\sqrt[3]{xyz}\le\frac{x+y+z}{3}\quad\implies\quad xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3=27$$Gleichheit herrscht bei der AGM-Ungleichung genau dann, wenn alle 3 Zahlen denselben Wert haben, also für \(x=y=z=3\).

Answer 2

Wobei hast du genau Probleme?

Hier eine Lösung von Wolframalpha

Answer 3

Bekanntermaßen ist das geometrische Mittel von n Zahlen (hier n=3) kleiner oder (maximal) gleich dem arithmetischen Mittel dieser Zahlen.

Aus 9 = x + y + z folgt 3=(x+y+z)/3.

Dann kann auch \( \sqrt[3]{xyz} \) maximal 3 sein und xyz maximal 27 sein.

Das wird mit x=y=z=3 tatsächlich erreicht.