Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen von R². Welche davon sind Unterbektorräume des R²?

Question

Aufgabe:

Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen von R². Welche davon sind Unterbektorräume des R²?

a) {(X1,X2)∈R²:X2 ungleich 0}

b)  {(X1,X2)∈R²:X2 gleich 0}

Ansatz:

Bei a würde das ja jeden Punkt im R² bedeuten außer halt X2=0.

Bei b ist es eine Konstante Funktion y=0, oder?

Wie bestimmte ich ob es ein UVR ist?

Vielen Dank

Answer 1

Aloha :)

a) $\quad U_1\coloneqq\left\{\binom{x}{y}\in\mathbb R^2\,\bigg|\,y\ne0\right\}$

Das ist die gesamte $xy$-Ebene ohne $y=0$, also ohne die $x$-Achse. Diese Menge kann kein Unterraum des $\mathbb R^2$ sein, weil der Nullvektor $\binom{0}{0}$ nicht enthalten ist.

b) $\quad U_2\coloneqq\left\{\binom{x}{y}\in\mathbb R^2\,\bigg|\,y=0\right\}$

Das ist die $x$-Achse. Sie bildet einen Untervektorraum des $\mathbb R^2$. Das können wir auch explizit nachprüfen, indem wir die Kriterien einzeln durchgehen:

1) Nullvektor ist enhalten$\quad\checkmark$

2) Abgeschlossen bzgl. Addition: $\binom{x_1}{0}+\binom{x_2}{0}=\binom{x_1+x_2}{0}\in U_2\quad\checkmark$

3) Abgeschlossen bzgl. Skalarmultiplikation: $\alpha\binom{x}{0}=\binom{\alpha x}{0}\in U_2\quad\checkmark$

Comments

Vielen Dank, hat mir sehr geholfen.

Ich hätte da aber noch eine letzte Frage. Zb bei dem Bsp

 {(X1,X2)∈R²: X1,X2∈Z }

In diesem Fall ist es ein Unterbektorraum, da eine Addition der Vektoren einen Vektor bringt, der ebenfalls im Unterraum liegt, analoges bei der Multiplikation.

Wenn ich das skizzieren möchte, dann müsste ich alle Punkte markieren. Eine wirkliche Fläche bekomme ich ja nicht, da X1 und X2 nur ganze Zahlen annehmen können.

Stimmt das?

Vielen Dank

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Ja, so ist es. Du müsstest halt die einzelnen Punkte im Koordinatensystem eintragen.

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{(X1,X2)∈R²: X1,X2∈Z }

Nein, das ist kein Untervektorraum.

$$\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$$ liegt z.B. in der Menge, aber $$\pi \cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \pi\\\pi \end{pmatrix}$$ nicht.

Answer 2

Bei a würde das ja jeden Punkt im R² bedeuten außer halt

alle Punkte mit x2=0 also sind das alle ohne die x-Achse.

Ist kein UVR; denn (0;1) und (0;-1) gehören dazu, aber deren Summe nicht.

Bei b ist es eine Konstante Funktion y=0, oder?

ja genau: Alle , die auf der x-Achse liegen.

Das ist ein UVR, denn wenn du sowas wie ( a;0) und (b;0) addierst

gibt es wieder etwas von dieser Sorte und wenn du x*(a;0) rechnest

auch.

Answer 3

Hallo

als Vektoren hast du doch bei b alle Vielfachen von (0,1) kannst du dann entscheiden, ob b) ein UVR ist?

bei a) hast du alle Punkte (x,y) ausser (x,0)   ein VR und damit auch ein UVR muss die 0 enthalten, und zu 2 Vektoren ihre Linearkombination.  Auch jetzt kannst du entscheiden.

Gruß lul