Warum ergibt (x²-4)² = x^4 - 8 * x^2 + 16?

Question

Aufgabe:

(x²-4)²

Problem/Ansatz:

folgendes Problem: ich weiß, dass die Lösung der Aufgabe x^4 - 8 * x^2 + 16 ist. Jedoch verstehe ich nicht wieso.

Schließlich kommt man beim Auflösen des normalen Binoms ((x-4)²) auf dieses Ergebnis: x^2 - 8x + 16. Was passiert mit dem x, das hinter der 8 steht? Verschwindet es einfach? Denn in dem Ergebnis oben, ist es nicht mehr zu sehen. Ich bin dankbar für jede Hilfe.

Comments

Hallo,

ersetze in dem, was Du aufgeschreiben hast überall x durch \(x^2\)

Gruß

Answer 1

Nach der 2. binomischen Formel gilt

(a - b)^2 = a^2 - 2·a·b + b^2

also

(x^2 - 4)^2 = (x^2)^2 - 2·(x^2)·(4) + (4)^2

beim normalen Binom mit x statt x^2 sieht das dann so aus.

(x - 4)^2 = (x)^2 - 2·(x)·(4) + (4)^2

Ist das jetzt klar?

Comments

Vielen Dank :)

Eine Frage noch, müsste hier nicht -4 stehen? (fett)

--> (x2 - 4)2 = (x2)2 - 2·(x2)·(4) + (4)2

                                              ||

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Beachte die binomische Formel

(a - b)^2 = a^2 - 2·a·b + b^2

Hier steht auch nur ein b und nicht -b !

Das Minus wir dafür vor der 2 schon berücksichtigt.

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Achso, jetzt ist es klarer :)

Könnte ich es auch so rechnen: (x²-4)*(x²-4) ?

Und wenn der Exponent 3 wäre, könne ich es dann so machen:

(x²-4)*(x²-4)*(x²-4) ?

Vielen Dank

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Ja genau. Man hat die binomischen Formeln ja nur gelernt damit das einzelne ausmultiplizieren leichter fällt und damit man auch eine ausmultiplizierte binomische Formel erkennt und rückwärts faktorisieren kann.

Answer 2

Es ist

        \((z - 4)^2 = z^2 - 8z + 16\)

laut zweiter binomischer Formel.

(x²-4)² = x⁴ - 8 * x² + 16?

Oops, bei dir steht links ja überhaupt kein \(z\), sondern stattdessen \(x^2\).

Ersetze in meiner Gleichung alle \(z\) durch \(x^2\).

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Alles klar, vielen Dank :)