Grenzwert einer Folge mit Wurzel richtig bestimmen

Question

Hallo hat jemand eine Idee wie ich den Grenzwert folgender Folge bestimmen kann?

lim n→∞ = \( \sqrt[n]{ \frac{1}{(\frac{1}{3})^n+1} } \)

Ich weiß leider überhaupt nicht wie ich hier am besten vorgehe...muss ich vielleicht die +1 wegschätzen?

Answer 1

Hallo,

Du hast da zwei Folgen, die beide gegen \(1\) laufen. Die erste ist $$\lim_{n \to \infty} \frac1{1+q^n} \quad q \lt 1$$Der Term \(q^n\) läuft gegen \(0\) und somit die Folge gegen \(1\).

Weiter kann man umformen$$\frac 1{1 + \epsilon} = \frac{1 + \epsilon - \epsilon }{1 + \epsilon } = 1 - \frac{\epsilon}{1 + \epsilon} \approx 1 - \epsilon$$Und die Folge $$\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \epsilon\right)^{1/n} = \lim_{x \to 0} (1-\epsilon)^x$$mit konstanten \(\epsilon\) geht ebenfalls gegen \(1\). Also ist der Grenzwert \(=1\).

Mit dem Majoranten-Minorantenkriterium kann man das wahrschenlich sauberer begründen.

Answer 2

Hallo, eine Möglichkeit wäre, hiermit der Bernoulliungleichung zu arbeiten. Den Nenner kann man damit so nach oben abschätzen:

\(1+\left(\frac{1}{3}\right)^n=1+\frac{n}{n}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n=1+n\cdot \Big(\frac{1}{n}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n \Big)\leq \Big(1+ \frac{1}{n}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n\Big)^n\).

Da die \(n\)-te Wurzel \(\sqrt[n]{.}\) monoton wachsend ist, folgt zunächst

\(\sqrt[n]{\frac{1}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^n}}\geq \sqrt[n]{\frac{1}{\Big(1+ \frac{1}{n}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n\Big)^n}}=\frac{1}{1+ \frac{1}{n}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n}\quad \stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} 1\).

Nun kannst du eine obere Abschätzung des inneren Ausdruckes erneut durchführen.

Answer 3

Text erkannt:

\( \left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{1^{n}}{3^{n}}=\frac{1}{3^{n}} \)
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3^{n}} \rightarrow 0 \)
\( n \sqrt{\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^{n}+1}}=\frac{1}{n \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^{n}+1}} \)
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^{n}+1}} \rightarrow 1 \)