Bestimmen sie die inversen Elemente für folgende Potenzreihen

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie die inversen Elemente für folgende Potenzreihen:

(i) p(x) = 1 + x²

(ii) ...

Problem/Ansatz:

p(x) * q(x) = 1

(1 + x²) * \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ bⁿ*x_n } \) (Muss mich für die Darstellung der Summen entschuldigen, kriege es einfach nicht Formatiert.)

= ...

= b₀ + \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ (b_n*b_n-1) * x²ⁱ⁺¹ } \) = 1

= 1 - b₀ =  \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{ (b_n*b_n-1) * x²ⁱ⁺¹ } \)

Daraus folgt dann glaube ich, dass b₀ = 1 ist. Und weiter komme ich nicht. Sollte jetzt rekursiv die einzelnen Koeffizienten ausrechnen können, nur wie?

Answer 1

Es soll gelten: \(\displaystyle(1+x^2)\cdot\sum_{n=0}^\infty b_nx^n=1\). Es folgt$$\sum_{n=0}^\infty b_nx^n+\sum_{n=0}^\infty b_nx^{n+2}=1$$$$\sum_{n=0}^\infty b_nx^n+\sum_{n=2}^\infty b_{n-2}x^n=1$$$$b_0+b_1x+\sum_{n=2}^\infty(b_n+b_{n-2})x^n=1$$Damit ist \(b_0=1\), \(b_1=0\), sowie \(b_n=-b_{n-2}\) für \(n\ge2\).
Für alle ungeraden n ist also b_n = 0 und die übrigen alternieren zwischen ±1.

Comments

Das Gesuchte ist die geometrische Reihe  ∑ [n=0 bis ∞] q^n = 1/(1-q)  für q = -x^2.

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Das hast du wunderbar erkannt. Respekt.