Question

Begründe die Aussage für eine Parabel mit der Gleichung ax^2 + bx

Problem/Ansatz:

a) Die Parabel verläuft immer durch den Ursprung des Koordinatensystems und hat ihren zweiten Schnittpunkt mit der x-Achse stets an der Stelle x= -b Bruchstrich a

b) die Parabel hat ihren Scheitelpunkt stets an der Stelle x = -b / 2a

Answer 1

1.) Die Parabel verläuft immer durch den Ursprung des Koordinatensystems und hat ihren zweiten Schnittpunkt mit der x-Achse stets an der Stelle x=- \( \frac{b}{a} \)

f(x)= ax^2 + b*x

a*x^2 + b*x=0

x*(a*x + b)=0

x₁=0

a*x + b=0

x₂= - \( \frac{b}{a} \)

2.) die Parabel hat ihren Scheitelpunkt stets an der Stelle x =- \( \frac{b}{2a} \)

Der Scheitelpunkt einer Parabel 2.Grades liegt immer über oder unter der Mitte zwischen den beiden Nullstellen:

x₁=0           x₂= - \( \frac{b}{a} \)

Text erkannt:

\( S_{x}=\frac{0+\left(-\frac{b}{a}\right)}{2}=-\frac{b}{2 a} \)

Comments

Wow :0 Dankeschön! Also die Aufgabe a.) leuchtet mir jetzt ein! Aber die b.) irgendwie nicht. Gibt es noch eine andere Begründung für b? :(

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Könnten sie mir b.) nochmal anders erklären? :( wir haben diese Formel noch nicht

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Schau dir mal die Normalparabel   f(x)=x^2 an.

f(-2) =(-2) ^2=4       f(2) =(2) ^2=4

f(-1) =(-1) ^2=1      f(2) =(1) ^2=1   

f(0) =(0) ^2=0        f(0) =(0) ^2=0 

f(1)  =(1) ^2=1 

f(2)  =(2) ^2=4

Bei der Normalparabel f(x)=x^2 liegt der Scheitel bei S(0|0)   Nun kommt bei x=-3  und bei x=3   der gleiche Funktionswert 9 heraus. Der Scheitelpunkt S_x liegt somit in der Mitte zwischen \( \frac{-3+(+3)}{2} \)=0        S_x=0

Hast du nun f(x)= x^2-4   Hier sind die beiden Nullstellen x₁=-2  und x₂=2

Dies ist nun eine um 4 Einheiten nach unten verschobene Normalparabel:

S_x = \( \frac{-2+(+2)}{2} \)=0

Verschiebst du nun f(x)=x^2-4  um 2 Einheiten nach rechts so entsteht die Parabel g(x)=(x-2)^2-4  Mit den Nullstellen   x₁=0  und x₂=4     S_x = \( \frac{0+(+4)}{2} \)=2

g(2)=(2-2)^2-4=-4

Wiederum liegt der Scheitel S(2|-4 ) in der Mitte zwischen den Nullstellen.

g(x)=(x-2)^2-4=x^2-4x+4-4=x^2-4x Dies ist nun in der allgemeinen Form y=a*x^2+bx mit a=1 und b=-4 geschrieben. Nun war ja nachzuweisen, dass die Parabel hat ihren Scheitelpunkt stets an der Stelle x =- \( \frac{b}{2a} \) hat:

x=- \( \frac{-4}{2*1} \)=2

Text erkannt:

Wh

Answer 2

Dass die Parabel immer durch den Ursprung läuft, sieht man daran, dass \(ax^2+bx=x(ax+b)\) gilt. Und für \(x=0\) wird dieses Produkt, egal was du für \(a\) und \(b\) wählst, immer gleich Null. Weiter gilt \(f(0)=0\). Damit läuft die Parabel für alle \(a,b\) durch \((0,0)\), den Ursprung.

Comments

Oh, wie sicher sind Sie sich da? :o

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Sorry, habe die Frage nur halb gelesen. Kannst du bereits ableiten? Oder gehst du über Symmetrieeigenschaften?

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Also das Thema in meinem Mathe Buch heißt gerade : Lösen von einfachen quadratischen Gleichungen .

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Weißt du, dass die Scheitelstelle immer in der Mitte zwischen zwei Nullstellen liegt oder kennst du die quadratische Ergänzung?

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Ich soll ja anhand diesem Satz diese 2 Aufgaben begründen  : begründe die Aussage für eine Parabel mit der Gleichung y=ax^2+bx

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Also ich hatte schon quadratische Ergänzungen, aber dass die scheitelstelle immer in der Mitte zw 2 nullstellen liegt sagt mir gerade nichts :(

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Ja, es gibt aber nicht nur eine Begründung. Die eleganteste ist, dass du weißt, dass die Scheitelstelle im Mittel zwischen den beiden Nullstellen liegt. Die Nullstellen sind \(x_1=0\) und \(x_2=-\frac{b}{2}\). Dann gilt für die Scheitelstelle \(x_s=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2a}\).

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Mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform und dann den Scheitelpunkt ablesen ist dann eine Methode, um das nachzuweisen.

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Vielen Dank! :)

Answer 3

Hallo bei a) musst du doch nur beide gegebene x-Werte \(0\) und \(\frac{-b}{a}\) einsetzen. Es geht ja hier nur um die Nullstellen deiner gegebenen Parabel.

Bei b) musst du deinen Funktionsterm \(ax^2+bx\) in die Scheitelpunktform überführen. Aber eigentlich musst du das nicht, wenn dir klar ist, dass eine Parabel immer genau eine Symmetrieachse hat, die durch den Scheitelpunkt verläuft. Du kannst a) benutzen, denn dort sind die Nullstellen gegeben. Und da Parabeln eine Symmetrieachse haben und \(f(0)=0=f \left ( \frac{-b}{a} \right)\) gilt, hast du dazwischen genau in der Mitte deine Symmetrieachse.

Comments

Aber ich habe doch keine x- Werte gegeben bei a.) oder? :0

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Doch, die hast du gegeben.

,,Ursprung des Koordinatensystems'' und

,,zweiten Schnittpunkt mit der x-Achse stets an der Stelle x= -b Bruchstrich a''

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Uff, ok, aber wie soll man das denn jetzt begründen? Mir fehlt gerade echt die Idee

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Naja, übersetze doch mal beide Angaben in die mathematische Schreibweise.

Was heißt Koordinatenursprung?

Was heißt Schnittpunkt mit der x-Achse bei \(x=\frac{-b}{a}\)?

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Also koordinatenurspung (0/0)

Ok, aber die Aufgabe b.), da komme ich nicht mehr weiter . Die Begründungen leuchten mir nicht ein :(

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Also koordinatenurspung (0/0)

Ja. Und jetzt noch der andere Punkt.

Die Begründungen leuchten mir nicht ein :(

Verstehst du, was hier überhaupt mit Symmetrie einer Parabel gemeint ist?

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Nein, da wir das noch nicht hatten mit Symmetrie. Bin erst 9. klasse :)

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Wandle mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die Gleichung von der Normal- in die Scheitelpunkform um:

\(f(x)=ax^2+bx\\ = a\big(x^2+\frac{b}{a}x\big)\\ =a\bigg((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}\bigg)\)

Damit ist die x-Koordinate des Scheitelpunktes \( -\frac{b}{2a} \)

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Ohhh und das war’s ?

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Also ich meinte das eher intuitiv. :) Hier mal ein Bild:

~plot~ -x^2-8x-10;x^2;x^2-4x+3;x=0;x=2;x=-4;[[-7|7|-4|9]] ~plot~

Die senkrechten Striche stellen die Symmetrieachsen der Parabeln da. Man kann das nun als eine Spiegelung an einer senkrechten Achse interpretieren.

Das bedeutet also anschaulich, dass es links und rechts auf dem Funktionsgraphen also der Parabel Punkte gibt, die denselben Abstand zur Symmetrieachse haben und auf gleicher Höhe sind.

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ja das verstehe ich, aber so richtig im Unterricht haben wir das nicht angesprochen :o

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Dann siehst du es jetzt hier. :D (Oder ihr macht es vielleicht noch...?)

Nun, da du jetzt siehst, dass eine Parabel immer eine genau eine Symmetrieachse hat, kann man das jetzt auf deine Aufgabe übertragen.

Moliets und racine_carrée haben dir ja ganz hübsch gezeigt, wie man auf die Nullstellen kommt. Nullstellen liegen auf der x-Achse. Es gilt also das dort der Funktionswert 0 ist. Klar?

Jetzt kommt die Symmetrie ins Spiel (wie oben bereits erklärt). Du hast die Nullstellen bei \(0\) und \(\frac{-b}{a}\). Diese sind nun gleich weit von der Symmetrieachse entfernt. Das bedeutet also, dass man nur den Mittelwert beider Nullstellen nehmen muss. Und da du nur hier zwei Zahlen gegeben hast, wird die Summe beider Zahlen durch zwei dividiert: \(\frac{0+\frac{-b}{a}}{2}=\frac{-b}{2a}=x_s\). Und da Mathematiker schreibfaul sind, gibt man dieser Summe einen Namen, hier halt \(x_s\).

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Ach herrlich. Das mit dem „schreibfaul“ könnte glatt von meiner Lehrerin stammen ;). Also ich habe wirklich alles zu 100% Verstanden, was Sie gerade erklärt haben. Ich hoffe nur, dass, wenn meine Lehrerin diese Aufgabe jetzt sieht, dass sie das akzeptieren wird mit der Symmetrie :) aber wirklich danke!! :)

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Das freut mich. :-)