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Text erkannt:

(b) {fD[0,1] : f(0)+2f(0)=0} \left\{f \in D[0,1]: f^{\prime}(0)+2 f(0)=0\right\}

Aufgabe: Ist diese Menge ein Vektorraum?


Problem/Ansatz:

Ich hab jetzt mit dieser Berechnung argumentiert, dass es ein Vektorraum ist.

f(0)+2f(0)0+λ(g(0)+2g(0))0=0 \underbrace{f^{\prime}(0)+2 f(0)}_{0}+\lambda \cdot(g^{\prime} \underbrace{(0)+2 g(0))}_{0}=0

Allerdings wenn ich die 2f(0) hinüber bringe steht da dann ja f'(0) = -2f(0) und meine neue Rechnung sähe nun so aus:

f(0)2f(0)+λg(0)2f(0)=!2f(0) \underbrace{f^{\prime}(0)}_{-2 f(0)}+\underbrace{\lambda g ^{\prime}(0)}_{-2 f(0)} \stackrel{!}{=}-2 f(0)  

wenn ich Lambda nun als etwas absurd hohes wählen würde, kommt in dieser Addition ja niemals wieder -2f(0) heraus, oder? Ich hätte deswegen gemeint es ist kein Vektorraum.

Ich versteh deswegen nicht was ich hier falsch gemacht habe, da ich für beide Lösungen argumentieren könnte.

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Allerdings wenn ich die 2f(0) hinüber bringe steht da dann ja f'(0) = -2f(0) und meine neue Rechnung sähe nun so aus:

f(0)2f(0)+λg(0)2f(0)+λ2g(0)=!2f(0) \underbrace{f^{\prime}(0)}_{-2 f(0)}+\underbrace{\lambda g ^{\prime}(0)}_{-2 f(0)} + \lambda 2g (0) \stackrel{!}{=}-2 f(0)

Avatar von 289 k 🚀

Wieso zählt man jetzt den Term lambda 2g(0) dazu? ich versteh aber trotzdem noch nicht inwiefern die Gleichung jetzt gelöst ist, mir kommt da dann einfach 0 = 0 heraus.

Wieso zählt man jetzt den Term lambda 2g(0) dazu?

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ich versteh aber trotzdem noch nicht inwiefern die Gleichung jetzt gelöst ist, mir kommt da dann einfach 0 = 0 heraus.

Dann ist doch die Sache wahr.

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