Aloha :)
Wir können hier ausnutzen, dass eine Umkehrfunktion die Wirkung einer Funktion kompensiert:$$e^{\ln(x^x)}=x^x\quad\implies\quad f(x)=x^x=e^{\ln(x^x)}=e^{x\ln(x)}$$
Daher gilt für die Ableitung:$$f'(x)=\left(e^{x\ln(x)}\right)'=\underbrace{e^{x\ln(x)}}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(x\ln(x)\right)'}_{=\text{innere Abl.}}=x^x\,\left(1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x}\right)=x^x\cdot(\ln(x)+1)$$Ich kann dein Ergebnis also bestätigen.
Für die Grenzwertberechnung von \(f(x)\) kannst du die Krankenhausregel (L'Hospital) nutzen:$$\lim\limits_{x\to0}\left(x\ln(x)\right)=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}\right)=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}\right)=\lim\limits_{x\to0}\left(-x\right)=0\quad\implies$$$$\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\left(x^x\right)=\lim\limits_{x\to0}\left(e^{x\ln(x)}\right)=e^0=1$$
Damit ist auch klar, dass \(f'(x)\) für \(x\to0\) divergiert, denn \(\lim\limits_{x\to0}\ln(x)=-\infty\).
