Wie zeichnet man den Graphen der Funktion f (x)=-x^2+4x+5

Question

Hallo

Gegeben ist die Funktion f(x)=-x²+4x+5 für x ist Element von (5/0).

In die vom Graphen der Funktion f, der x-Achse und der y-Achse begrenzte Fläche soll ein rechtwinkliges Dreieck einbeschrieben werden, dessen eine Ecke im Punkt P(5/0) liegt.

Wie muss die Lage des Punktes Q (x/0) gewählt werden, damit das dreieck einen möglichst großen Flächeninhalt hat?

Vielen Dank vorab!

Comments

Zeichnen kannst du deinen Graphen hiermit: https://www.matheretter.de/tools/funktionsplotter/

 x ist Element von (5/0) ist Quatsch.

Vielleicht meinst du 

 x ist Element von (0/5)

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Kannst du es bitte begründen wieso x ist element von (5/0) quatsch sei?

Vielleicht habe ich mich vertan.

Danke vorab, schonmal.

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Das soll vermutlich eine Intervallsangabe sein. Dort steht immer links die kleinere und rechts die grössere Zahl.

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Hi Lu, wie bist du denn auf den Scheitelpunkt von 2,9 gekommen?

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wie bist du denn auf den Scheitelpunkt von 2,9 gekommen?

Quadratische Ergänzung:

 f(x)=-x²+4x+5
=-(x^2 -4x +4-4 ) + 5
=-((x-2)^2 -4) + 5
=-(x-2)^2 + 9

S(2,9)

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Hi Lu, wie bist du denn auf den Scheitelpunkt von 2,9 gekommen?

Kann ich mir das so vorstellen das du dann die -2 aus der Klammer genommen hast, und die 9 dazu ergibt 2,9, stimmts?

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Video zur Scheitelpunktform:

Quadratische Ergänzung: 3. Video hier https://www.matheretter.de/wiki/quadratische-funktionen

Answer 1

Der Graph sieht so aus: https://www.wolframalpha.com/input/?i=-x^2%2B4x%2B5+

Zum selber zeichnen, einfach ein paar Wertepaare ausrechnen und dann verbinden.

 

Flächeninhalt des Dreieckes errechnet sich:

A = 1/2 * PQ * Abstand von Q zur Funktion f

PQ = √((5-x_Q)^2 + (0-0)^2 ) = 5-x_Q

Da Q auf der x-Achse liegt, ist der Abstand zur Funktion f gerade f(x_Q):

Daraus folgt:

A(x_Q) = 1/2 * (5-x_Q) * f(x_Q) = 1/2 * (5-x_Q) * (-x_Q^2 +4x_Q + 5)

                                      = 1/2*x_Q^3 - 9/2*x_Q^2 + 15/2*x_Q + 25/2

Das soll maximal werden.

Also Ableitung bilden:

A ' (x_Q) = 3/2 * x_Q^2 - 9x_Q + 15/2

Nullsetzen:

0 = 3/2 * x_Q^2 - 9x_Q + 15/2

0 =  x^2 - 6x_Q + 5

pq-Formel:

x_Q12 = 3 ± √(3^2 -5 ) = 3 ± 2

x_Q1 = 5    x_Q2 = 1

Zweite Ableitung:

A '' (x_Q) = 3 * x_Q - 9

A '' (5) = 6 >0 ⇒ Minimum

A '' (1) = -6 <0 ⇒ Maximum

Also ist die Lage von Q bei (1;0), damit der Flächeninhalt des Dreieckes maximal wird.

Comments

Ich komm nicht dahinter wieso dort 15/2xq stehen bevor man ableitet.

Erklär mir das bitte nochmal!

Gruss

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1/2 * (5-x_Q) * (-x_Q² +4x_Q + 5) ausmultipliziert ergibt:

1/2* (-5x_Q² + 20x_Q + 25 + x_Q³ - 4x_Q² - 5x_Q) 

Zusammengefasst:

1/2*(-9x_Q² + 15x_Q + 25 + x_Q³ )

Ausmultipliziert:

- 9/2*x_Q² + 15/2*x_Q + 25/2 + 1/2*x_Q³

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Hi, PQ=Wurzel aus ((5-xq)quadrat+(0-0)² )=5-xq.

(0-0)² steht geschrieben weil der Abstand zur Funktion f gerade ist oder weil Q auf der x- Achse liegt.

Oder hast da einfach in die PQ - Formel eingesetzt?

Besten Dank!

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Mit der pq-Formel hat das nichts zu tun. Die Punkte heißen nur P und Q.

Der Abstand zwischen zwei Punkten errechnet sich so:

d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² ]

Da du weißt, dass P und Q auf der x-Achse liegen, ist die y-Koordinate von beiden 0. Deswegen steht da (0-0)².

Answer 2

f(x) = - x^2 + 4·x + 5

A = 1/2 * f(x) * (5 - x) = 0.5·x^3 - 4.5·x^2 + 7.5·x + 12.5
A' = 1.5·x^2 - 9·x + 7.5 = 0
x = 1 [und x = 5]

Wenn ich die Aufgabe richtig deute sieht das Dreieck wie folgt aus

Comments

Du hast geschrieben A(x)=1/2*f(x)*=0,5xhoch3 -4,5x² +7,5x +12,5

Wie erklärt sich denn das sternchen oben und wie hast du dann weitergerechnet?

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Das Stern soll ein Mal sein.

A = 1/2 · f(x) · (5 - x)
A = 1/2 · (- x^2 + 4·x + 5) · (5 - x)

Hier multipliziere ich aus

A = 1/2 · (x^3 - 9·x^2 + 15·x + 25)
A = 0.5·x^3 - 4.5·x^2 + 7.5·x + 12.5

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ok. habe ich nachvollzogen.

besten gruß