Aufgabe:
(i) Seien \( V \) ein \( K \) -Vektorraum und \( \varphi \in \operatorname{End}_{K}(V) \operatorname{mit} \varphi \circ \varphi=\varphi \). Zeigen Sie, dass es Untervektorräume \( U, W \) von \( V \) gibt mit
(a) \( V=U \oplus W \),
(b) \( \varphi(W)=0 \),
(c) \( \varphi(u)=u \forall u \in U \).
(ii) Betrachten Sie die Untervektorräume
\( U_{1}=\operatorname{span}\left(\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\right), \quad U_{2}=\operatorname{span}\left(\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right) \)
von \( \mathbb{R}^{4} \). Bestimmen sie Basen von \( U_{1}+U_{2}, U_{1} \cap U_{2} \), von einem Komplement von \( U_{1} \) und vom Quotientenvektorraum \( \mathbb{R}^{4} / U_{1} \).
