Hallo, du musst an die Eigenwerte \(\lambda\) rankommen. Zunächst gilt doch der Zusammenhang:
\(v\in \mathbb{K}^n\setminus{\{0\}}\) Eigenvektor von \(A\in \mathbb{K}^{n\times n}\) mit Eigenwert \(\lambda\in \mathbb{K}\\\Leftrightarrow A\cdot v=\lambda\cdot v\\\Leftrightarrow A\cdot v-\lambda\cdot v=0\\\Leftrightarrow (A-\lambda\cdot I_n)\cdot v=0\\\Leftrightarrow v\in \operatorname{Ker}(A-\lambda\cdot I_n)\\\stackrel{v\neq 0}{\Leftrightarrow} \operatorname{Ker}(A-\lambda\cdot I_n)\neq \{0\}\\\Leftrightarrow A-\lambda\cdot I_n \text{ nicht injektiv}\\\Leftrightarrow A-\lambda\cdot I_n \text{ nicht invertierbar}\\\Leftrightarrow \det(A-\lambda\cdot I_n)=0\)
Du musst also nun \(0=\underbrace{\det(A-\lambda\cdot I_n)}_{\text{char. Polynom}}\) betrachten. Damit bekommst du die Eigenwerte deiner Matrix \(A\). Das sind die Nullstellen vom char. Polynom. Und da Eigenwerte per Definition mindestens einen Eigenvektor \(v\) haben, musst du nun für jeden Eigenwert \(\lambda\) dir die vierte Äquivalenzumformung anschauen: \((A-\lambda\cdot I_n)\cdot v=0\), d.h. pro Eigenwert ein lineares Gleichungssystem lösen, um an \(v\) heranzukommen, welcher wie du sehen wirst nicht eindeutig sein wird.
obwohl sie symmetrisch ist, da der Satz nur für reelle und nicht die komplexen Zahlen gilt?
Nein. Dein \(A\) ist nicht symmetrisch, da \(A\neq A^T\).
Sind diese Eigenvektoren Basis von \(\mathbb{K}^n\), dann ist \(A\) diagonalisierbar. Die Umkehrung gilt ebenfalls.
