Gleichung nach x auflösen. Welcher Wert kommt für x raus?

Question

Gleichung:

\( \frac{9^{x}}{\sqrt[3]{27^{x}}}=\sqrt{3^{2 x}} \)

Kann mir einer sagen wie ich hier richtig nach x auflöse?

Kriege keine eindeutige Lösung raus oder kann es sein dass man für x alle reellen Zahlen einsetzen kann?

Answer 1

Hi,

$$\frac{9^x}{\sqrt[3]{27^x}} = \sqrt{3^{2x}}$$

$$\frac{3^{2x}}{27^{\frac x3}} = \sqrt{3^{2x}}\quad|\text{mit }27 = 3^3$$

$$\frac{3^{2x}}{3^x} = \sqrt{3^{2x}}\quad|\text{mit }\sqrt{3^{2x}} = 3^{\frac{2x}{2}}$$

$$ 3^x = 3^x$$

Wahre Aussage

Also kann tatsächlich jedes x aus dem Definitionsbereich gewählt werden :).

Alles klar?

Grüße

Answer 2

Tatsächlich kann jede Zahl für x eingesetzt werden. Wenn man nämlich richtig auflöst, kommt man auf

3 ^x = 3 ^x

und das ist eine für alle x wahre Aussage.

Answer 3

 

ich würde erst einmal versuchen, den Bruch loszuwerden; also: beide Seiten mit ³√27^x multiplizieren

9^x = ³√27^x * √3^2x

3^x * 3^x = ³√(3^x * 3^x * 3^x) * √3^x * √3^x

3^x * 3^x = 3^x/3 * 3^x/3 * 3^x/3 * 3^x/2 * 3^x/2

Jetzt haben wir überall die gleiche Basis 3, also muss gelten

x + x = x/3 + x/3 + x/3 + x/2 + x/2

Und das gilt offensichtlich für alle x.

 

Beispiele

x = 2 | 81 = ³√729 * 9 | korrekt

x = 0 | 9⁰ = 1 = ³√27⁰ * √3⁰ | korrekt

x = 1 | 9 = ³√27 * √9 = 3 * 3 | korrekt

x = 3 | 729 = 27 * 27 | korrekt

 

Bei der Ursprungsgleichung muss natürlich darauf geachtet werden, links nicht durch 0 zu dividieren - was aber wohl kaum machbar wäre :-)

 

Ich komme also auf die gleiche Lösung wie Du:

Alle reellen Zahlen können für x eingesetzt werden.

 

Besten Gruß

Comments

Ja genau so habe ich auch gedacht, hatte nur überlegt dass du vielleicht doch irgendwie ein exakter Wert rauskommt. Also vielen dank :)