Eine Limonadenfirma füllt ihre Produkte in Flaschen ab. Die eingefüllte Limonade ist normalverteilt mit dem Mittelwert 2,06 l und der Standardabweichung 0,05 l. Auf den Flaschen ist ein Inhalt von 2 l angegeben.
Die Verteilung der Standardnormalverteilung für deinen Fall lautet:
f(x) = 1/(√(2·pi)·0.05)·e^{- (x - 2.06)^2/(2·0.05^2)}
a) Berechnen Sie, wie viel % der Flaschen weniger als den angegebenen Inhalt auf
weisen.
∫ von -∞ bis 2 (1/(√(2·pi)·0.05)·e^{- (x - 2.06)^2/(2·0.05^2)}) = 0.1150696702
b) Wie groß müßte der Mittelwert bei gleicher Standardabweichung sein, damit nur 5
% der Flaschen einen zu geringen Inhalt aufweisen?
∫ von -∞ bis 2 (1/(√(2·pi)·0.05)·e^{- (x - m)^2/(2·0.05^2)}) = 0.05
Auflösen nach m ergibt m = 2.082242680
c) Wieviel % der Flaschen weisen einen Inhalt auf, der größer als 2,1 list?
∫ von 2.1 bis ∞ (1/(√(2·pi)·0.05)·e^{- (x - 2.06)^2/(2·0.05^2)}) = 0.2118553985 = 21,2%
d) Ermitteln Sie, auf welchen Wert man die Standardabweichung durch eine bessere
Einstellung, die jedoch mit höheren Produktionskosten zu erzielen ist, abändern muß,
damit nur 5% der Flaschen mehr als 2,1 l Inhalt aufweisen?
∫ von 2.1 bis ∞ (1/(√(2·pi)·s)·e^{- (x - 2.06)^2/(2·s^2)}) =
s = 0.02431827364
e) Bei der Abfüllung werden erfahrungsgemäß etwa drei Prozent der Flaschen beschädigt, sodass sie neu abgefüllt werden müssen. Bei einer Stundenproduktion von 3000 Flaschen sollen Sie berechnen, in welchem Bereich mit 95% Wahrscheinlichkeit die Anzahl der unbeschädigten abgefüllten Flaschen liegt.
μ = n * p = 2910
σ = √(n·p·(1 - p)) = 9,343
μ - 1,96σ = 2892
μ + 1,96σ = 2929
f) Ein Lebensmittelgroßhändler bestellt nun 10 000 Flaschen. Berechnen Sie, wie viele Flaschen abgefüllt werden müssen, damit mit 99%-iger Sicherheit genügend viele unbeschädigte Flaschen darunter sind, bei bekanntem Abfüllausschuß von 3%.
