Ja, das kannst du. Eine Version könnte so aussehen:
\(a_n=\begin{cases}0\quad \qquad ,\quad n=0\\2^{-\frac{n}{2}}\quad ,\quad n\text{ gerade}\\-\frac{1}{2}n-\frac{1}{2},\quad n\text{ ungerade}\end{cases}\).
Wenn du nun aber die \(0\) weglässt, kann man dennoch eine einzige geschlossen Bildungsvorschrift erhalten. Ich gucke mir also nur \( (b_n)_{n\in \mathbb{N}}:=(-1, \frac{1}{2}, -2, \frac{1}{4}, -3, \frac{1}{8}, -4, \frac{1}{16}, ...)\) an. Damit erstelle ich zwei neue Folgen:
\((g_n)_{n\in \mathbb{N}}:=( -1, 0, -2, 0, -3, 0, -4, 0, ...)\)
\((f_n)_{n\in \mathbb{N}}:=(0, \frac{1}{2},0, \frac{1}{4},0, \frac{1}{8},0, \frac{1}{16}, ...)\)
Und diese Folgen kann man ganz hübsch aufschreiben:
\(g_n=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(1-(-1)^n\right)\)
\(f_n=\frac{1}{2}\cdot 2^{-\frac{n}{2}}\cdot \left(1+(-1)^n\right)\)
Beide Folgen \(f_n\) und \(g_n\) ergeben addiert:
\(b_n=f_n+g_n=\frac{1}{2}\cdot \Bigg[2^{-\frac{n}{2}}\cdot \left(1+(-1)^n\right)+\left(-\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(1-(-1)^n\right) \Bigg]\)
Insgesamt kannst du dir so deine Folge \(a_n\) auf diese Weise zusammenbasteln:
\(a_n=\begin{cases}0,\quad n=0\\b_n,\quad n\geq 1\end{cases}\)
