Aloha :)
Wir brauchen zunächst die Formeln für die Funktionen:$$y_1(x)=2x+2\quad\text{Gerade}$$$$y_2(x)=x^2\quad\text{Normalparabel}$$$$y_3(x)=(x-1)^2+1\quad\text{verschobene Normalparabel}$$
Dann brauchen wir die 3 Schnittpunkte$$y_2=y_1\implies x^2-2x-2=0\implies(x^2-2x+1)-3=0\implies(x-1)^2=3$$$$\phantom{y_2=y_1}\implies x-1=\pm\sqrt3\implies x=1\pm\sqrt3$$Die negative Lösung ist hier die interessante:$$x_{12}=1-\sqrt3$$Die beiden anderen Schnittpunkte kann man aus dem Diagramm ablesen:$$x_{13}=0\quad;\quad x_{23}=1$$
Damit können wir die Integrale für die Fläche formulieren:
$$F=\int\limits_{1-\sqrt3}^0\left(y_1(x)-y_2(x)\right)dx+\int\limits_0^1\left(y_3(x)-y_2(x)\right)dx$$$$\phantom{F}=\int\limits_{1-\sqrt3}^0\left(2x+2-x^2\right)dx+\int\limits_0^1\left((x-1)^2+1-x^2\right)dx$$$$\phantom{F}=\int\limits_{1-\sqrt3}^0\left(2x+2-x^2\right)dx+\int\limits_0^1\left(2-2x\right)dx=\left[x^2+2x-\frac{x^3}{3}\right]_{1-\sqrt3}^0+\left[2x-x^2\right]_0^1$$$$\phantom{F}=-(1-\sqrt3)^2-2(1-\sqrt3)+\frac{(1-\sqrt3)^3}{3}+2-1=2\sqrt3-\frac{5}{3}\approx1,7974$$
