Induktionsbeweis mit Binomialkoeffizienten

Question

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe (Induktionsbeweis) in meinen Unterlagen gefunden.

Im induktionsanfang steht:

(m+k )über m =( m über m )+ (m+1) über m

Wie kommt man auf diese Gleichheit?

Und müsste es nicht n=0 sein?

Freue mich über antworten.

Lg

Answer 1

Hallo,

Im induktionsanfang steht:
(m+k )über m =( m über m )+ (m+1) über m

Ich vermute mal da steht$$\sum_{k=0}^1{ m+k\choose m} = \underbrace{{ m\choose m }}_{=1} + \underbrace{{m+1 \choose m}}_{=m} = \underbrace{{ m +1+1\choose m+1}}_{m+1}$$das erste Gleichheitszeichen steht da, weil man in den Term hinter der Summe einmal \(k=0\) und einmal \(k=1\) einsetzt. Und das zweite Gleichheitszeichen steht da, weil \(m+1=m+1\) ist.

Der vorletzte Binomialkoeffizient ist immer gleich dem zweiten - also$${m + 1 \choose m} = {m+1 \choose (m+1)-m } = {m+1 \choose 1} = m+1$$siehe Eigenschaften der Binomialkoeffizieneten.

Und müsste es nicht n=0 sein?

Ja man kann auch bei 0 anfangen. Muss man aber nicht.

Answer 2

Lautet der Induktionsanfang nicht wie folgt

i.A. n = 0

(m über m) = (m+1 über m+1) → wahr

So würde ich das zumindest machen.