Man zeige, dass die Zahl 97 nicht zu M gehört.

Question

Sei M = {n ∈ ℤ| ∃x, y ∈ ℤ mit n = x² - 23y^2}.

Man zeige, dass die Zahl 97 nicht zu M gehört. (Tipp: Quadratisches Reziprozitätsgesetz)

Answer 1

Wenn es solche ganzen Zahlen \( x, y \) mit

$$ 97 = x^2 - 23 y^2$$

gäbe, dann wäre

$$ 5 \equiv 97 = x^2-23y^2 \equiv x^2 \mod (23) $$

insbesondere müsste 5 ein quadratischer Rest modulo 23 sein. Berechne das Legendre-Symbol

$$ \left(\frac{5}{23}\right) $$

(mithilfe des QRG), wenn da \( -1 \) rauskommt erhältst du einen Widerspruch und somit kann es keine ganzzahligen Lösung der Gleichung geben.

[spoiler]

$$ \begin{aligned} \left(\frac{5}{23}\right) &= (-1)^{\frac{5-1}{2}\frac{23-1}{2}} \left(\frac{23}{5}\right) \\&= \left(\frac{23}{5}\right) \\&= \left(\frac{-2}{5}\right) \\&=\left(\frac{-1}{5}\right) \cdot \left(\frac{2}{5}\right) \\&= (-1)^{\frac{5-1}{2}}\cdot (-1)^{\frac{5^2-1}{8}} \\&= -1 \end{aligned} $$

[/spoiler]

Answer 2

Angenommen es gäbe x,y mit 97 = x^2 - 23y^2

==>    97 ≡ x^2  mod 23

==>  97 ist quadratischer Rest mod 23

Wegen 97≡5 mod 23

wäre auch 5 quadratischer Rest mod 23.

Ist es aber nicht.