Berechnen Sie die Fläche und deren Abmessungen für den Fall einer möglichst großen Fläche.

Question

Aufgabe:

Auf einem Baugrundstück, das die Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen 80 m und 100 m hat, soll eine Halle mit rechteckiger Grundfläche errichtet werden. Berechnen Sie die Fläche und deren Abmessungen für den Fall einer möglichst großen Fläche.

Problem/Ansatz:

geg:

- rechtwinkliges Dreieck
- Katheten: 80 m, 100 m

ges:
- rechteckige Grundfläche => A_max
- Abmessungen

Lösung:

A = \frac{1}{2} ab
c^2 = a^2 + b^2

c = \sqrt{100^2 + 80^2}
c ≈ 128,1

Mein Problem an dieser Aufgabe ist, ich habe jetzt nur das c für die "Abmessungen" berechnet, aber ich habe keine richtige Gleichung mit der ich in die Flächeninhaltsgleichung reingehen kann, wovon ich dann schlussendlich ableiten kann.

Oder soll ich da jetzt einfach machen?:
A = \frac{1}{2} * 100 * 80
A = 4000 m^2 = 4 km^2

Answer 1

kleiner Fehlerhinweis
A = 4000 m2^ = 4 km^2
1 km = 1000 m
1 km^2 = 1000 * 1000 = 1000000 m^2

Du mußt zunächst eine lineare FUNKTION
für die Hypotenuse finden.
Stell dir das Dreieck vor
( 0 | 80 )
( 120 | 0 )
f ( x ) = - 2/3 * x + 80

An der Stelle ( Seite ) x ist der Funktionswert f(x)
Länge und Breite des Rechtecks

A ( x ) = x * f(x)
A ( x ) = x * ( - 2/3 * x + 80)
A ( x ) = -2/3 * x^2  + 80*x )
A ´(x ) = -4/3 * x + 80
Extremwert
-4/3 * x + 80 = 0
-4/3 * x = = -80
x = 60

y = f(60);
A = x * y

Frag nach bis alles klar ist.

Comments

Berechnen Sie . . .   deren Abmessungen

Die Aufgabe ist nicht eindeutig lösbar.

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Stimmt hast recht, bei der km² Angabe, war ich wohl ein wenig zu schnell. Danke für den Hinweis!

Auf die Lineare Funktion hätte ich eigentlich auch kommen müssen. Die Frage ist nur, wie kommst du auf diese -2/3 ?

Der Rest ist klar. :)

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( x | y )
( 0 | 80 )
( 120 | 0 )

2 Punkte auf einer Geraden
y = m * x + b

80 = m * 0 + b => b = 80

0 = m * 120 + 80
m * 120 = -80
m = -80 / 120
m = - 2/3

f ( x ) = - 2/3 * x + 80

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So habe ich das jetzt gemacht, stimmt das so?:

$$ A = \frac{1}{2}ab $$
$$ c^2 = \sqrt{100^2 + 80^2} $$
$$ c ≈ 128,1 m $$
Punkte vom Dreieck:
$$ P(0 | 80)  Q(120 | 0) $$
$$ y = mx + n $$

$$ 80 = m * 0 $$
$$ b = 80 $$

$$ 0 = m * 120 + 80 | - 80 $$
$$ m * 120 = -80 | / 120 $$
$$ m = -\frac{80}{120} $$
$$ m = -\frac{2}{3} $$
$$ y = f(x) = -\frac{2}{3}x + 80 $$

$$ A = \frac{1}{2}xy $$
$$ A = \frac{1}{2}x*f(x) $$
$$ A(x) = \frac{1}{2}x * (-\frac{2}{3}x + 80) $$
$$ A(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 40x $$
$$ A'(x) = -\frac{2}{3}x + 40 $$
$$ A''(x) = -\frac{2}{3} < 0 \rightarrow HP \rightarrow Maximum $$
$$ A'(x) = 0 $$
$$ 0 = -\frac{2}{3}x + 40 | -40 $$
$$ -40 = -\frac{2}{3}x | /(-\frac{2}{3}) $$
$$ x = 60 m $$

$$ y = f(60) = -\frac{2}{3} * 60 + 80 $$
$$ y = f(60) = 40 m $$

$$ A = \frac{1}{2} * 60 * 40 $$
$$ A = 120 m^2 $$

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Fast.
Die gesuchte Fläche ist ein RECHTECK.
Du hast die Formel für ein
Dreieck verwnedet
A = 1/2 * x * y

Ich zitiere meine Antwort
An der Stelle ( Seite ) x ist der Funktionswert f(x) = Länge und Breite des Rechtecks

A ( x ) = x * f(x)
A ( x ) = x * ( - 2/3 * x + 80)
A ( x ) = -2/3 * x^2  + 80*x )
A ´(x ) = -4/3 * x + 80
Extremwert
-4/3 * x + 80 = 0
-4/3 * x =  -80
x = 60

y = f(60)
y = -2/3 * 60 + 80
y = 40

A = x * y = 60 * 40
A ( max ) = 2400 m^2

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Aber hier steht doch Dreieck: "Baugrundstück, das die Form eines rechtwinkligen Dreiecks"

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Auf einem Baugrundstück, das die Form eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen 80 m und 100 m hat,
Das Baugrundstück ist ein Dreieck.

soll eine Halle mit rechteckiger Grundfläche errichtet werden.
Die Fläche der Halle ist ein Recheck.

Zeichne das Baugrundstück und darin
eingepasst das Rechteck mit den
ermittelten Maßen.

Berechnen Sie die Fläche ( der Halle )
und deren Abmessungen für den Fall
einer möglichst großen Fläche.

Frage nach bis alles klar ist.

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Hier die Skizze

Unglücklichsterweise muß es 100 m und nicht 120 m
heißen.
Macht aber nichts.
Rechne bitte die Aufgabe mit 80/100 sauber durch.

mfg Georg

Answer 2

Markiere einen Punkt P auf einer der Katheten k.

Zeichne die Gerade g, die senkrecht zu k und durch P verläuft.

Schnittpunkt von g und Hypotenuse sei Q.

Die Ecke des Dreiecks, an der der rechte Winkel ist, sei O.

Ergänze OPQ zu einem Rechteck indem du den vierten Punkt R. hinzunimmst.

Der Abstand |OP| sei \(x\).

Stelle eine Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks PQRS in Abhängigkeit von \(x\) auf. Dazu ist es sinnvoll, O in den Ursprung zu legen, die Kathete von P auf die x-Achse und die Kathete von R auf die y-Achse zu legen und eine Funktionsgleichung für die Hypotenuse aufzustellen.