Aloha :)
Betrachte folgende Summe:
$$S(x)\coloneqq\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n=x\sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n-1}=x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=x\frac{d}{dx}\sum\limits_{n=0}^\infty x^n\quad;\quad x\ne0\;\land\;|x|<1$$Nach dem ersten Gleichheitszeichen haben wir die untere Grenze der Summe von \(n=1\) auf \(n=0\) geändert. Um auf Nummer sicher zu gehen, dass der dabei entstehende Faktor \(x^{0-1}=\frac{1}{x}\) definiert ist, fordern wir \(x\ne0\). Beim letzten Gleichheitszeichen ziehen wir die Ableitung vor die Summe. Das ist erlaubt, weil die geometrische Reihe für \(|x|<1\) konvergiert. Mit ihrem Grenzwert \(\sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\) rechnen wir weiter:$$S(x)=x\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)=x\cdot\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{x}{(1-x)^2}$$
Damit ist nun der gesuchte Grenzwert klar:
$$\phantom{=}\sum\limits_{n=0}^\infty(n+2)\cdot\frac{1}{5^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty n\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^n+2\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{5}\right)^n=S\left(\frac{1}{5}\right)+2\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{5}}$$$$=\frac{\frac{1}{5}}{(1-\frac{1}{5})^2}+\frac{2}{1-\frac{1}{5}}=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{16}{25}}+\frac{2}{\frac{4}{5}}=\frac{1}{5}\cdot\frac{25}{16}+2\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{16}+\frac{40}{16}=\boxed{\frac{45}{16}}$$
