Aufgabe:
In einem Buch zur Analysis wird folgender “Satz” behauptet:
Satz: Je zwei natürliche Zahlen sind gleich.
Der Text bietet folgenden “Beweis” an: Es reicht zu zeigen, dass für jedes n ∈ ℕ gilt die
folgende Aussage A(n):
A(n): Für jede zwei natürliche Zahlen a, b mit max{a, b} = n gilt a = b.
Der Beweis erfolgt mithilfe vollständiger Induktion:
(i) Induktionsanfang: Die Behauptung ist offensichtlich wahr für n = 1.
(ii) Induktionsschluss: Zu zeigen ist, für alle n ∈ ℕ gilt A(n) ⇒ A(n + 1):
Sei n ∈ ℕ beliebig aber fest. Sei angenommen, dass A(n) wahr ist (die sogenannte Induktionsvoraussetzung). Seien a, b natürliche Zahlen mit max {a, b} = n + 1. Dann gilt
max{a − 1, b − 1} = n.
Aus der Wahrheit von A(n) folgt a − 1 = b − 1 und somit, dass a = b. Damit ist der
Induktionsschluss bewiesen. Wo liegt der Fehler?
Problem/Ansatz:
Den Fehler habe ich schon entdeckt, habe aber eine andere Frage:
Inwiefern ist die Behauptung offensichtlich wahr für n=1(Der Fehler liegt nicht dort)? Für n=0 hätte ich dies ja noch nachvollziehen können mit a=b=0, für n=1 komme ich aber irgendwie nicht drauf. Vielleicht hab ich gerade auch nur einen kleinen Denkfehler.
