Aloha :)
Eine Funktion \(f(x;y)\) soll unter einer Nebenbedingung \(g(x;y)\) optimiert werden:$$f(x;y)=2x^{0,8}y^{0,2}\quad;\quad g(x;y)=8x+5y\stackrel!=100$$Die umständliche Rechnung über die Lagrange-Funktion ersparen wir uns. Stattdessen nutzen wir die Kern-Idee von Lagrange. Der Gradient der zu optimierenden Funktion muss eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, heißt das:
$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\operatorname{grad}g(x;y)\quad\implies\quad\binom{2\cdot0,8x^{-0,2}y^{0,2}}{2x^{0,8}\cdot0,2y^{-0.8}}=\lambda\binom{8}{5}$$Wir dividieren die erste Koordinatengleichung durch die zweite, um den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) loszuwerden:
$$\frac{2\cdot0,8x^{-0,2}y^{0,2}}{2x^{0,8}\cdot0,2y^{-0.8}}=\frac{4y^{0,2}}{x^{0,8}\cdot y^{-0.8}}=\frac{4y^{0,2}\cdot y^{0,8}}{x^{0,2}\cdot x^{0,8}}=\frac{4y}{x}\quad;\quad\frac{\lambda\cdot8}{\lambda\cdot5}=\frac{8}{5}\quad\implies$$$$\frac{4y}{x}=\frac{8}{5}\quad\implies\quad y=\frac{8}{5}\cdot\frac{x}{4}\quad\implies\quad \underline{\underline{y=\frac{2}{5}x}}$$
Wir setzen diesen Zusammenhang in die Nebenbedingung ein:$$100=8x+5y=8x+5\cdot\frac{2}{5}x=8x+2x=10x\quad\implies\quad\boxed{x=10\quad;\quad y=4}$$
Wir haben also ein Optimum gefunden:$$f_{max}=f(10;4)=2\cdot10^{0,8}\cdot4^{0,2}\approx16,651064$$
