Zeigen Sie, dass arctan(x) x für alle x ∈ (0, ∞) gilt.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass arctan(x) < x für alle x ∈ (0, ∞) gilt.

Problem/Ansatz:

Welches Kriterium wird hierfür angewendet?

Answer 1

Es ist arctan(0)=0 und für f(x) = x ist auch f(0)=0.

Außerdem gilt arctan ' (x) = 1 / (1 +x^2)  < 1 = f ' (x)  für alle x∈ℝ⁺  .

Answer 2

Für \(x\in\mathbb R\) sei \(f(x):=\arctan x\). Wähle ein \(x>0\). Da \(f\) auf dem Intervall \([0,x]\) stetig und auf dem Intervall \((0,x)\) differenzierbar ist, gibt es nach dem Mittelwertsatz ein \(c\in\mathbb R\) mit \(0<c<x\), so dass$$\quad\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^\prime(c)$$gilt. Es folgt$$\quad\frac{\arctan x}x=\frac1{1+c^2}.$$Die Behauptung folgt nun daraus, dass \(x>0\) und \(\frac1{1+c^2}<1\) für alle \(c>0\) ist.