Exponentialfunktion Ableitung Extremstellen Abstand

Question

Aufgabe:

Funktion: g(x)=(x²+2x)•e^-x mit D=R

a) Weisen Sie nach, dass g‘(x)=e^-x*(-x²+2) eine Gleichung für die erste Ableitungsfunktion von g ist

b) Ermitteln Sie die Extremstellen des Graphens (siehe oben Funktion) und deren Art mithilfe der zweiten Ableitungsfunktion von g

c) Der Graph p(x)=-2x•(x+2) un der Graph        g(x)=(x²+2x)•e^-x haben an genau einer Stelle x mit -2<x<0 einen maximalen senkrechten Abstand d. Bestimmen Sie diese Stelle x und geben Sie den maximalen Abstand d an

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Zum Verständnis: Wir reden von dieser Funktion (blau) und deren Ableitung (rot).

Answer 1

Text erkannt:

"Funktion: $g(x)=\left(x^{2}+2 x\right) \cdot e^{-x}$ mit $D=R$
a) Weisen Sie nach, dass $g^{\prime}(x)=e^{-x} \cdot\left(-x^{2}+2\right)$ eine Gleichung für die erste Ableitungsfunktion von $g$ ist"
Ableitung mit der Quotientenregel:
$g(x)=\left(x^{2}+2 x\right) \cdot e^{-x}=\frac{x^{2}+2 x}{e^{x}}$
$g^{\prime}(x)=\frac{(2 x+2) \cdot e^{x}-\left(x^{2}+2 x\right) \cdot e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}=\frac{(2 x+2)-\left(x^{2}+2 x\right)}{e^{x}}=\frac{\left(2-x^{2}\right)}{e^{x}}=\left(2-x^{2}\right) \cdot e^{-x}$

Comments

Text erkannt:

b) Ermitteln Sie die Extremstellen des Graphens (siehe oben Funktion) und deren Art mithilfe der zweiten Ableitungsfunktion von $g$
Extremstellen: $g^{\prime}(x)=0$
$\left(2-x^{2}\right) \cdot e^{-x}=0$
$x_{1}=\sqrt{2}$ oder $x_{2}=-\sqrt{2}$
Art der Extremstellen:
$f^{\prime} \cdot(x)=\frac{-2 x \cdot e^{x}-\left(2-x^{2}\right) \cdot e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}=\frac{-2 x-2+x^{2}}{e^{x}}$
$f^{\cdot}(\sqrt{2})=\frac{\left(-2 \cdot(\sqrt{2})-2+(\sqrt{2})^{2}\right)}{e^{\sqrt{2}}} \approx-0,68<0 \rightarrow$ Maximum
$f^{\prime}(-\sqrt{2})=\frac{\left(-2 \cdot(-\sqrt{2})-2+(-\sqrt{2})^{2}\right)}{e^{-\sqrt{2}}} \approx 11,6>0 \rightarrow$ Minimum

Text erkannt:

c) Der Graph $p(x)=-2 x \cdot(x+2)$ und der Graph $g(x)=\left(x^{2}+2 x\right) \cdot e^{-x}$ haben an genau einer Stelle $x$ mit $-2<x<0$ einen maximalen senkrechten Abstand $d$. Bestimmen Sie diese Stelle $x$ und geben Sie den maximalen Abstand $d$ an:
$$\begin{array}{l} d(x)=\left(x^{2}+2 x\right) \cdot e^{-x}-[-2 x \cdot(x+2)]=\left(x^{2}+2 x\right) \cdot e^{-x}+2 x \cdot(x+2)=\left(x^{2}+2 x\right) \cdot e^{-x}+2 x^{2}+4 x= \\ =\left(x^{2}+2 x\right) \cdot e^{-x}+2 x^{2}+4 x=\left(x^{2}+2 x\right) \cdot e^{-x}+\left(x^{2}+2 x\right) \cdot 2=\left(x^{2}+2 x\right) \cdot\left(e^{-x}+2\right) \end{array}$$
$\left[\left(x^{2}+2 x\right) \cdot\left(e^{-x}+2\right)\right]^{\prime}=0$
$x \approx-1,29$
$g(-1,29)=\left((-1,29)^{2}+2 \cdot(-1,29)\right) \cdot e^{-(-1,29)} \approx-3,33$
$p(-1,29)=-2(-1,29) \cdot((-1,29)+2) \approx 1,8$
$d=|-3,33|+1,8 \approx 5,13$

Answer 2

Funktion: g(x)=(x²+2x)•e^-x mit D=R
g ' (x) =  (x²+2x)'•e^-x + (x²+2x)•(e^-x)'

        = (2x+2)•e^-x + (x²+2x)•(e^-x)•(-1)

          = (2x+2)•e^-x + (-x²-2x)•(e^-x)

          = e^(-x) • (2x+2-x²-2x)

        = e^-x*(-x²+2)


b) g ' (x) = 0 ==>  -x² + 2 = 0 ==>   x = ±√2

g ' ' (x) = e^(-x)*(x²-2x-2)

==>  g ' ' (√2) ≈ -0,69 < 0 ==>  Max. bei x=√2

       g ' ' (-√2) ≈ 11,6 > 0 ==>  Min. bei x=-√2

c) Berechne d(x) = p(x)-g(x) und bestimme davon das Maximum.

Answer 3

a) Ableiten: g'(x) = ... (Produktregel anwenden)

u= x²+2x -> u' = 2x+2

v= e^(-x) -> v' = -e^(-x)

b) g'(x) = 0

x = ...

c) https://www.mathematik-oberstufe.de/analysis/ew/extremale-entfernung…

Answer 4

a) Funktion g ableiten und sehen, dass das herauskommt, was als Ableitung nachgewiesen werden soll

b) Erste Ableitung gleich Null setzen. Wenn die zweite Ableitung an diesen x-Koordinaten einen positiven Wert hat, ist es ein Minimum, wenn negativ, ein Maximum.

c) Der Abstand ist die Differenz der beiden Funktionen. Dieser Abstandsfunktion ableiten und gleich Null setzen, um das Maximum zu finden.