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Aufgabe:

Von einem Trapez \( A B C D \) mit den Parallelseiten \( \overline{A B} \) und \( \overline{C D} \) kennt man die Winkel \( \beta=\angle A B C=63^{\circ} \) und \( \delta=\angle C D A=132^{\circ} \) sowie die Lănge der Seiten \( \overline{A B}=85 \mathrm{~mm} \) und \( \overline{B C}=51 \mathrm{~mm} \).

Berechnen Sie die Länge der fehlenden Seiten \( \overline{A D} \) und \( \overline{C D} \) sowie die Länge der Diagonale
\( A C ! \)


Problem/Ansatz: Lösen Sie bitte diese Aufgabe mit Erklärung

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Kannst du mit dieser Skizze etwas anfangen?

blob.png

Hallo

das sollte helfen, wenn man bei B 63° statt 36° denkt.

lul

Zahlendreher - tut mir leid.

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

eine Skizze ist immer wichtig! (Maße in \(\text{cm}\))

blob.png

berechne zunächst die Höhe \(h\) des Trapez. Im Dreieck \(\triangle BCQ\) gilt$$\sin(\beta) = \frac{h}{|BC|}$$und daraus folgt$$h = |BC| \sin(\beta) = 51\,\text{mm} \cdot \sin(63°) \approx 45,4\,\text{mm}$$Im Dreieck \(\triangle APD\) gilt$$\sin(\alpha) = \frac{h}{|AD|}$$und \(\alpha\) (gelb) ist der Nebenwinkel von \(\delta\) (blau). Folglich ist \(\alpha = 180°-\delta\), aber da allgemein gilt \(\sin(x) = \sin(180°-x)\), ist auch$$\sin(\delta) = \frac{h}{|AD|} \\\implies |AD| = \frac{h}{\sin(\delta)} \approx \frac{45,4\,\text{mm}}{\sin(132°)} \approx 61,1\,\text{mm}$$Um die Seite \(|CD|\) zu berechnen, macht man sich zunutze, dass$$|CD| = |AB| - |BQ| - |AP|$$und mit$$|BQ| = |BC| \cdot \cos(\beta) \\ |AP| = |AD| \cos(\alpha) = - |AD| \cos(\delta)$$kommt man dann zu \(|CD| \approx 20,9\,\text{mm}\).

Die Länge der Diagonale \(|AC|\) liefert Pythagoras$$|AC|^2 = |AQ|^2 + h^2 \implies |AC| \approx 76,7\,\text{mm}$$

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