Eine Norm finden wenn möglich

Question

Aufgabe:

Wir definieren die Metrik der französischen Eisenbahn wie folgt: Sei \( d: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch

\( d(x, y):=\left\{\begin{array}{ll}|x-y| & \text { wenn } x=\alpha y \text { für ein } \alpha>0 \\ |x|+|y| & \text { sonst. }\end{array}\right. \)

Gibt es eine Norm \( \|\cdot\| \), sodass \( \|x-y\|=d(x, y) \) für alle \( x, y \in \mathbb{R}^{n} \) gilt? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Wenn man für x eben a*y einsetzt, erhält man anstatt ||x-y|| eben ||a*y-y|| bzw. ||y*(a-1)|| , wenn y=0 ist,hätte man doch eine von drei Bedingung der Norm erfüllt, oder nicht? ( ||x||=0 <=> x=0), jetzt würde noch zwei weitere Bedingung der Norm fehlen ( ||a*x||=|a| * ||x|| und die dreiecksungleichung) wie würde man die zeigen? Oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden?

Answer 1

Hallo

wenn y≠ax ist gilt d(x,y)=|x|+|y|

also wenn x,y,z auf einer geraden durch 0 liegen  gilt d(x,y)+d(y,z)=|y-x|+|z-y|=d(x,z)

Wenn x,y,z alle nicht auf einer Linie liegen gilt die Dreiecksungleichung .

Vielleicht stellst du dir die Norm in 2d vor; alle Punkte die auf einer geraden durch 0 liegen haben ihren normalen Abstand  im R^2, Punkte die nicht auf einer Geraden durch 0 liegen haben den Abstand der Summe der Abstände von 0

"französischen Eisenbahn" es gibt nur Züge die von Paris aus Orte erreichen Orte die auch sehr nahe beieinanderliegen  aber nicht auf der  gleichen Strecke von Paris aus  kann man nur erreichen indem man nach Paris fährt und dann zum benachbarten Ort,

am besten zeichnen du es auf um zu sehen ob die Dreiecksungleichung zu erfüllen ist.  2 auf einer Strecke, der dritte nicht etwa.

Gruß lul

Comments

Danke, aber was genau soll ich zeichnen?

Answer 2

Hallo,

es gibt keine solche Norm. Denn sonst:

$$\forall x,y \in \mathbb{R}^n: \|x-y\|= d(x,y) \Rightarrow \forall x \in \mathbb{R}^n: \|x\|=\|x-0\|=d(x,0)=|x| $$

Also: Wenn es eine solche Norm gäbe, dann wäre sie gleich \(|.|\). Nun gilt aber mit den Standard-Einheitsvektoren:

$$\|e_1-e_2\|=|e_1-e_2|=\sqrt{2} \neq d(e_1,e_2)=2.$$

Gruß Mathhilf

Comments

Woher kommt die \( \sqrt{2} \)? Tut mir leid, verstehe es gerade nicht...

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Da nichts erklärt war bin ich davon ausgegangen, dass in der Aufgabe mit \(|.|\) die euklidische Norm gemeint ist, als0

$$|e_1-e_2|=|(1,-1,0, \ldots)|=\sqrt{1+1}$$

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Ich habe diese art von norm gemeint mit folgenden eigenschaften:

i) \( \quad\|x\|=0 \Leftrightarrow x=0 . \)
ii) \( \quad\|\lambda x\|=|\lambda| \cdot\|x\| \quad \) für alle \( \lambda \in \mathbb{K} \) und \( x \in V \).
iii) \( \quad\|x+y\| \leqslant\|x\|+\|y\| \quad \) für alle \( x, y \in V \).

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Könnte man trotzdem ungefähr dein beispiel übernehmen, da wenn x, y nicht auf einer geraden liegen, dann wäre halt doch der abstand anders, also punkt zwei kann dann nicht erfüllt sein, oder?

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In der Aufgabenstellung wird die Bezeichnung \(|.|\) verwendet. Sie muss daher definiert sein. Da es nicht in der Aufgabenstellung geschieht - wenn Du diese vollständig angegeben hast - muss es durch allgemeine Konvention in Eurer Veranstaltung geregelt sein. Also: Was bedeutet \(|x|\)?

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Damit ist einfach der betrag von x gemeint, also |x|=\( \sqrt{x^2} \)

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In der Aufgabenstellung wird die Bezeichnung \(|.|\) verwendet. Sie muss daher definiert sein. Da es nicht in der Aufgabenstellung geschieht - wenn Du diese vollständig angegeben hast - muss es durch allgemeine Konvention in Eurer Veranstaltung geregelt sein. Also: Was bedeutet \(|x|\)?

Damit ist einfach der betrag von x gemeint

Was wäre also \(|e_1-e_2|\)?

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Es wäre gleich 0